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3-1设f?t??F???，试用F???表示下列各信号的频谱。
（1）?1?mf?t??cos?0t； （3）e【解】：
（1）运用公式cos(w0t)??[?(w?w0)??(w?w0)]，f(t)*?(t?t0)?f(t?t0)（参见（2-72）式），以及频域卷积定理得到
?j?0t（2）?t?2?f?t?； （4）f?t??f?t?3?；
df?t?；
dt[1?mf(t)]cos(w0t)?cos(w0t)?mf(t)cos(w0t)
m??[?(w?w0)??(w?w0)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]
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（2）根据频域微分定理：?jtf(t)?
（3）根据时域微分定理
dF(w) ，得到 dw(t?2)f(t)?tf(t)?2f(t)?jF?(w)?2F(w)
df(t)?jwF(w)，以及频移性质，得到 dte?jw0tdf(t)?j(w?w0)F(w?w0) dt
（4）根据时移性质f(t?3)?F(w)e?j3w，以及时域卷积定理，得到：
f(t)*f(t?3)?F(w).F(w)e?j3w?F2(w)e?j3w
3-2先求如下图(a)所示信号f?t?的频谱F???的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由
F???求出其余信号（b）（c）（d）的频谱的具体表达式。
【解】：
（a）f(t)?(1?t)[u(t)?u(t?1)]，对f(t)求一阶和二阶导数得到
f?(t)?dd[u(t)?u(t?1)]?t[u(t)?u(t?1)]dtdt??(t)??(t?1)?[u(t)?u(t?1)]?t[?(t)??(t?1)] ??(t)?u(t)?u(t?1)7
其中t?(t)?0 ，t?(t?1)??(t?1)
f??(t)???(t)??(t)??(t?1)
f??(t)?jw?1?e?jw
根据时域微分定理
df(t)?jwF(w)，可知 dtjw?1?e?jw f?(t)?jwjw?1?e?jw f(t)?2(jw)F(w)?1(1?jw?e?jw) 2w（b）由于f1(t)?f(t?1)
?jw?故 F1(w)?F(w)e1(1?jw?e?jw)e?jw 2w（c）f2(t)?f1(?t)?f(?t?1)
1jwjw(1?jw?e)e 2w1?j2w(d)根据尺度变换和时移性质f3(t)?f[?(t?2)]?2F(?2w)e
2 F2(w)?F1(?w)?e?j2w?ej2w ) F3(w)?2(?1jw22w
??0.5(1?cos? t), t?13-3 如图3-3所示余弦脉冲信号为f(t)??，试利用线性和频域卷积
0 , t?1?? 性质求f(t)频谱。提示：f(t)?g2(t)(1?1cos? t) ，g2(t)是门函数或矩形脉冲。
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图3-3 图3-4
【解】：
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由于g?(t)??Sa?????2??，其中??1， ?1?2??(?) ，cos(?0t)??[?(???0)??(???0)]，
根据频域卷积定理可以得到
11Sa(?) F(?)?Sa(?)?Sa(???)?Sa(???)?222???1??????
3-4 如图3-4所示两矩形函数f1(t)和f2(t)：(1) 画出f(t)?f1(t)*f2(t)的图形；(2) 求
f(t)?f1(t)*f2(t)的频谱函数F???。
【解】：
不妨设?1??2 ，f1(t)?E1g?1(t)，f2(t)?E2g?2(t) ，
f1(t)*f2(t)????????f1(?)f2(t??)d???E1g?1(?)E2g?2(t??)d??0 , t??(?1??2)/2?t??2/2????/2E1E2d? , ?(?1??2)/2?t??(?2??1)/2?1??1/2???E1E2d? , ?(?2??1)/2?t?(?2??1)/2??/2??1/2?1EEd? , (???)/2?t?(???)/22112??t??2/212?0 , t?(???)/2?12?0 , t??(?1??2)/2??1??2??E1E2?t? , ?(?1??2)/2?t??(?2??1)/2???2?????E1E2?1, ?(?2??1)/2?t?(?2??1)/2??1??2? ?E1E2??t , (???)/2?t?(???)/22112????2??0 , t?(???)/2?12
如下图所示
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3-5 已知f?t??e?t?1?u?t??u?t?1??，求信号f?t?的频谱函数F???的具体表达式。 【解】：
f?t??e?t?1??u?t??u?t?1????e?eu(t)?e?t?(t?1)u(t?1)
根据单边指数函数的频谱公式：eu(t)??t1 ，以及时移性质，可以得到
1?j?e?(t?1)e?j? u(t?1)?1?j?1?e?j?因此f(t)?
1?j?
3-6设f1(t)?cos(2?50t), f2(t)?cos(2?350t)，均按周期TS = (1/400)s抽样。试问哪个信号可以不失真地从抽样信号恢复出原信号？ 【解】：?1?100? ，?2?700?，?s?2??800? ，根据奈奎斯特准则，?s?2?1，Ts信号f1(t) 采样后，可以不失真地从抽样信号恢复出原信号。
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