第三章 三角恒等变形
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式．对三角函数式进行化简、求值和证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝________________________. cos(α＋β)＝________________________. sin(α＋β)＝________________________. sin(α－β)＝________________________. tan(α＋β)＝________________________. tan(α－β)＝________________________. 2．二倍角公式
sin 2α＝________________________.
cos 2α＝__________________＝____________________＝________________________. tan 2α＝____________________. 3．升幂公式
1＋cos 2α＝____________________. 1－cos 2α＝____________________. 4．降幂公式
sin xcos x＝______________，cosx＝____________， sinx＝____________________. 5．和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝________________________， tan α－tan β＝________________________. 6．辅助角公式
2
2
y＝asin ωx＋bcos ωx＝________________________.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
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例1 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
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反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·??，α＝(α＋β)－β，α＝
?2?
?α?
β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角
1212
α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐
31025
标分别为，.
105(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值．
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
5π??π?2?例3 已知函数f(x)＝23sin(x－3π)sin?x－?＋2sin?x＋?－1，x∈R.
2?2???
?π?(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0，?上的最大值和最小值； 2??
6?ππ?(2)若f(x0)＝，x0∈?，?，求cos 2x0的值．
5?42?
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
?π?317π 跟踪训练3 已知cos?＋x?＝， 41－tan x?4?512 类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 2