第16讲 分式方程及其应用
考点·方法·破译
1．分式方程(组)的解法
解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.
2．分式方程增根 在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).
3．列分式方程解应用题
列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.
经典·考题·赏析
【例1】解下列方程: ⑴
x?216－2＝1 x?2x?4124x2⑵－－＝4 2x?24?xx?2⑶
【变式题组】
x?4x?8x?7x?5＋＝＋ x?5x?9x?8x?61?x1x3(x?2)x⑴ x?2＝2?x－2⑵x?2＋2＝
123414x22⑵ x?4－x?3＝x?2－x?1⑷x?2＋x?2＋2?x＝1
【例２】当m为何值时，分式方程
【变式题组】 01．分式方程
m23－＝2会产生增根? x?1x?1x?1x?2x?216－＝2的增根是__________. x?2x?2x?402．若分式方程
6?x?1??x?1?－
m＝1有增根，则它的增根为( ) x?1A．0 B．1 C．－1 D．1，－1 03．若关于x的方程
04．分式方程
【例３】已知关于x的方程
【变式题组】
2m＝1－无解.则m的值为___________. x?3x?3m23－＝2无解，则m的值为___________. x?1x?1x?22x?m＝3的解是正数，则m的取值范围是_________. x?22x?a＝1的解是正数，则a的取值范围是( ) x?1A．a＞－1 B． a＞－1，且a≠0 C．a＜－1 D． a＜－1，且a≠－2
mxx?102．当m为何值时，关于x的方程2＝－的解是正数?
x?x?2x?1x?201．关于x的方程
【例４】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.
⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?
⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?
【变式题组】
01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比
原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为( )
A．160160400400?160＋＝18 B．＋＝18 xx?1?20%?x?1?20%?x160400?160400400?160＋＝18 D．＋＝18 x20%xx?1?20%?xC．02．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨
11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.
⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?
03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程， 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.
⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?
⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?