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，
。
12、.解：情境观察
AD（或A′D），90 问题探究
结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，
∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠
ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴
AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q. ∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AGEP = AB
EA.
同理△ACG∽△FAQ，∴AGFP = AC
FA.
∵AB= k AE，AC= k AF，∴ABEA = ACFA = k，∴AGEP = AG
FP. ∴
EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
13、1）根据题意，得4
3，解得 ，∴A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形
COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得
12(3+7)×4-12×3×(4-t)- 12t(7-t)- 1
2t×4=8整理,得t2
-8t+12=0,
解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4≤t＜7. 由S1
△APR= 2×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）
∴
当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时，0≤t＜4. ∴AP=，AQ=t，PQ=7-t 当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,整
理得，t2
-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2 整理得，t2
-2t-17=0 ∴t=1±3
(舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4. 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
由cos∠OAC= AEAQ = ACAO，得AQ = 53(t-4)．当AP=AQ时，7-t = 5
3(t-4)，解得t = 41
8.
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当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 12AP 得t-4= 1
2(7-t)，解得t =5. 当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F AF= 12AQ = 12×5
3(t-4). 在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ AFAP ＝ 35，得AF＝ 3
5AP 即 12×53(t-4)= 35×(7-t)，解得t= 22643.
∴综上所述，t=1或 418或5或 226
43 时，△APQ是等腰三角形.
14、、解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线 ∴OA⊥AD BD⊥AD 又∵ OA⊥OB ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB是矩形
∵⊙C的半径为2 ∴AD=OB=4 ∵点P在直线l上 ∴点P的坐标为（4，p）
又∵点P也在直线AP上 ∴p=4k+3
（2）连接DN ∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°
∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD 又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN ∵∠MAN=∠BAP∴△AMN∽△ABP
(3)存在。
理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3
AB=∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB
∴DN=
=
∴AN2
=AD2
-DN2
=
∵
△AMN∽△ABP
∴
即
……8分
当点P在B点上方时， ∵AP2
=AD2
+PD2
= AD2
+(PB-BD)2
=42+(4k+3-3)2 =16(k2
+1)
或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2
=42+(3-4k-3)2 =16(k2
+1)
S△ABP= PB·AD=(4k+3)×
4=2(4k+3)
∴
整理得k2
-4k-2=0 解得k1 =2+
k2=2- 当点P在B 点下方时，
∵AP2
=AD2
+PD2
=42
+(3-4k-3)2
=16(k2
+1)
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S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)
化简，得k2
+1=-（4k+3） 解得k=-2
综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于
…10
分
15、解：（1）设线段
与
轴的交点为
，由抛物线的对称性可得
为
中点，
，
，
，
(，
)
将(，)代入抛物线
得，. （2）解法一：过点
作
轴于点
，
点
的横坐标为，
(1，)，
. 又 ，易知，又
，
△
∽△，
设点（
，）（），则，，
，即点
的横坐标为. 解法二：过点
作
轴于点
，
点
的横坐标为， (1，)，
，易知
，
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，
设点
（-，
）（
），则
，
，
，即点
的横坐标为
.
解法三：过点
作
轴于点
，
点
的横坐标为，
(1，
)，
设
（-，
）（
），则
，
，
，
，
，
解得：
，即点
的横坐标为
.
（3）解法一：设（
，
）（
），（，
）（），设直线
的解析式为：
， 则
，……… 7分
得，
，
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又易知△∽△，，，
……… 9分
.由此可知不论
为何值，直线
恒过点（
，
）………10分
（说明：写出定点
的坐标就给2分）
解法二：设（
，）（），（，）（），
直
线
与
轴
的
交
点
为，
根
据
，可得
，
化简，得. 又易知△∽△，，
，
……… 9分为固定值.故直线
恒过其与
轴的交点
（
,
）
由
前
可
知
，
，
，
，
由，
得
：
，化简，得
.
15、27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，
∴
，∴CD=BD．