14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数
A组——题型分类练
题型一 平面向量的线性运算
―→|BC|―→―→―→
1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA＋2OC＝3OB，则的值为________．
―→|AB|―→|BC|―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝2CB，所以
―→|AB|1＝. 2
1答案： 2
―→―→―→―→―→
2．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用
a，b表示)．
1―→―→―→3―→3―→―→―→―→3
解析：由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a442411?1?＋b)－?a＋b?＝－a＋b.
44?2?
11
答案：－a＋b
44
―→
3．已知Rt△ABC的面积为2，∠C＝90°，点P是Rt△ABC所在平面内的一点，满足CP―→―→4CB9CA―→―→＝＋，则PA·PB的最大值是________． ―→―→|CB||CA|
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：由条件可知|CA|·|CB|＝4，CA·CB＝0，因为PA＝CA－CP＝CA－―→―→―→―→4CB9CA4CB9CA―→―→―→―→―→―→
－，PB＝CB－CP＝CB－－，故PA·PB＝―→―→―→―→|CB||CA||CB||CA|―→―→??―→―→??―4CB9CA4CB9CA→―→→―→?CA－?·?CB－?＝97－9|―－－CA|－4|CB|≤97－12×2＝
―→―→??―→―→??
|CB||CA|??|CB||CA|??
―→―→―→4―→
73，当且仅当9|CA|＝4|CB|，即|CA|＝，|CB|＝3时等号成立．
3
答案：73
题型二 平面向量的坐标表示
―→―→―→
1．在?ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为
________．
―→―→―→
解析：因为BC＝AC－AB＝(－1，－1)， ―→―→―→―→―→
所以BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5)
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．
解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 1
所以8－4x＝3＋6x，所以x＝.
21答案： 2
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________.
解析：不妨设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 77
联立①②，解得m＝－，n＝－.
937??7
故c＝?－，－?.
3??97??7
答案：?－，－?
3??9
题型三 平面向量的数量积
1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)1
＝7λ＋1＝0，λ＝－.
7
1
答案：－
7
2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为__________． 解析：法一：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|＝a＋b＋2a·b＝2＋2a·b＝1，152
所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a－a·b＝，
22
2
2
2
又因为|a|＝1，|2a－b|＝a－b2
＝4a－4a·b＋b＝7，
52
22
aa－b57
所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝.
|a|·|2a－b|1×714
法二：(特殊化、坐标化)
设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则向量a，b，a＋b构成以1为边长的正三角形， 3?3??1?1
故可设a＝(1,0)，b＝?－，?，a＋b＝?，?，
?22??22?
aa－b则a与2a－b的夹角的余弦值为＝
|a|·|2a－b|
，1＋0· 2
2
3??5
?，－?
2??2
3??5?2＋?
?2??－?2???2?
＝
52
＝7
57
. 14
57答案：
14
―→―→―→―→―→―→―→
3．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，―→―→
且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：由题意得，AB·AC＝－3，由AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，12―→―→―→2―→2―→―→
得λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝.
7
12答案： 7
4.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若―→―→―→―→―→―→
|AB|＝3，|AC|＝5，则(AP＋AQ)·(AB－AC)的值为________．
―→―→―→―→―→―→―→
解析：由题意知，(AP＋AQ)·(AB－AC)＝(2AQ＋QP)·CB＝―→―→―→―→―→―→―→2―→222
2AQ·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|－|AC|＝3－5＝－16.
答案：－16
―→―→
5．在△ABC中，已知AB＝3，C＝60°，则CA·CB的最大值为________． ―→―→―→
解析：因为AB＝CB－CA， ―→2―→2―→2―→―→所以AB＝CB＋CA－2CB·CA，
―→2―→2―→―→―→―→―→―→―→
所以3＝|CB|＋|CA|－|CB|·|CA|≥2|CB|·|CA|－|CB|·|CA|＝|CB