3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【基础练习】
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．直角三角形 【答案】C
π
【解析】由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，∴sin A≥1.而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝.2∴△ABC是直角三角形．
π?1π?2．(2019年吉林延边模拟)已知sin(π＋α)＝，|α|<，则cos?α－?＝( ) 6?32?22＋3
A．
622－3C．
6【答案】D
11π
【解析】因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.又|α|<，所以cos α332＝
π?22ππ2231126－1?.所以cos?α－?＝cos αcos ＋sin αsin ＝×－×＝.故选D．
6?36632326?
26＋1
B．
626－1D．
6B．钝角三角形 D．等腰非直角三角形
?π??π?3
3．(2019年安徽黄山模拟)已知x∈?0，?，cos?x＋?＝，则sin x的值为( )
2?4?5??
A．－
2
10
B．
2 10
72C．
10【答案】B
72D．－ 10
π?π3π??π??π?3?π?【解析】因为x∈?0，?，cos?x＋?＝，所以x＋∈?，?，sin?x＋?＝
2?4?54?4?4?4???ππ4??π?π??3?24?π??π?1－??＝.所以sin x＝sin??x＋?－?＝sin?x＋?cos －cos?x＋?sin ＝
4?4?4?4?445?5?5????×
2322
－×＝.故选B． 25210
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝( )
- 1 -
A．－
2
2
B．
2
2
1
C．－
2【答案】B
1D． 2
【解析】∵tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，即tan A＋tan B＝tan Atan B－1，∴tan(Atan A＋tan Bπ
＋B)＝＝－1，即tan(A＋B)＝－tan C＝－1.∴tan C＝1，即C＝，则cos C1－tan Atan B4π2
＝cos＝.故选B．
42
5．(2017年安徽二模)sin 15°＋cos 15°＝________. 【答案】
6
2
2?2?
sin 15°＋cos 15°?＝2sin(15°＋45°)＝
2?2?
【解析】sin 15°＋cos 15°＝2?2sin 60°＝6
. 2
π??43??6．(2019年广东江门期末)角α的终边与单位圆相交于P?－，?，则tan?α＋?＝4??55??________.
1
【答案】
7
π?3?43?可得tan ?【解析】由角α的终边与单位圆相交于P?－，?，α＝－，所以tan?α＋?4?4?55??＝
tan α＋11
＝. 1－tan α77．化简求值：
(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
1
【解析】(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－.
2(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1. 8．(2018年吉林梅河口五中期末)已知0＜α＜3?πβ?cos?－?＝.
?42?3
ππ?π?1，－＜β＜0，cos?＋α?＝，22?4?3
- 2 -
(1)求cos α的值； (2)求cos?α＋?的值．
2??
πππ3π
【解析】(1)∵0＜α＜，∴＜＋α＜. 2444
?
β?
?π?1?π?22.
∵cos?＋α?＝，∴sin?＋α?＝?4?3?4?3
π??π
∴cos α＝cos?＋α－?
4??4
2＋4?π?π?π?π
＝cos?＋α?cos＋sin?＋α?sin＝. 446?4??4?πππβπ
(2)∵－＜β＜0，∴＜－＜.
2442236?πβ??πβ?∵cos?－?＝，∴sin?－?＝. ?42?3?42?3
β????π??πβ??∴cos?α＋?＝cos??＋α?－?－??
2????4??42??
?π??πβ??π??πβ?＝cos?＋α?cos?－?＋sin?＋α?sin?－? ?4??42??4??42?
＝53. 9
【能力提升】
9．(2019年四川成都模拟)若α，β∈?则sin β＝( )
72A．
101C． 2【答案】B
255?π??π?【解析】因为α∈?，π?，sin α＝，所以cos α＝－.因为α，β∈?，π?，55?2??2?sin(α－β)＝－
10310?π?，所以α－β∈?－，0?，cos(α－β)＝.所以sin β＝sin[α1010?2?
B．
2
2
2510?π，π?且sin α＝，sin(α－β)＝－，?510?2?
1
D． 10
25310?25??10?
－(α－β)]＝×－?－?×?－＝.故选B． ?510?5??10?2
ππππ2
10．已知tan α，tan β是方程x＋33x＋4＝0的两根且－<α<，－<β<，2222
- 3 -