第六节 离散型随机变量及其分布
2019考纲考题考情
1.随机变量的有关概念,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
2.离散型随机变量的分布列,(1)概念,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，
xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表, X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，
i＝1,2，…，n表示X的分布列。
(2)性质,①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
n②?pi＝1。,3.常见离散型随机变量的分布列,(1)两点分布, i＝1
X P 功概率。
0 1－p 1 p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成(2)超几何分布,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(XCMCN－M*
＝k)＝n(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N。, CNkn－kX P 0 CMCN－Mn CN0n－01 CMCN－Mn CN1n－1… … m CMCN－Mn CNmn－m如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。
1.随机变量的线性关系,若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量。 2.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值。
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率。
一、走进教材,
1.(选修2－3P49A组T4改编)设随机变量X的分布列如下：, X P 则p为( ) 1111A. B. C. D. 63412
1 1 122 1 63 1 34 1 65 p 11113
解析 由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，所以p＝1－
1263641
＝。故选C。 4
答案 C
2.(选修2－3P47例2改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X的分布列为________。
解析 由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)C3·C7＝，k＝0,1,2,3。即 4
C10
k4－kX P 答案 0 1 61 1 22 3 103 1 30X P 二、走出误区
0 1 61 1 22 3 103 1 30微提醒：①随机变量的概念不清；②超几何分布类型掌握不准；③分布列的性质不清致误。
3.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球 C.取到白球的个数 可能取值为0,1,2。故选C。
答案 C
4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
B．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
解析 A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，
A.
1272721 B. C. D. 2205522055
21
C3C927
解析 {X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝3＝。故选C。
C12220答案 C
5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则
P(X＝0)＝________。
解析 由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝10)＝1，得P(X＝0)＝。
3
1答案 3
考点一离散型随机变量分布列的性质
【例1】 (1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝
a(n＝1,2,3,4)，
n(n＋1)
?15?其中a是常数，则P? 2345A. B. C. D. 3456 (2)设离散型随机变量X的分布列为 X P 求2X＋1的分布列。 (1)解析 因为P(X＝n)＝ 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m aaaaa5 (n＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝， n(n＋1)2612204 51515?15?所以P? 42466?22? 答案 D (2)解 由分布列的性质知， 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3。 列表为 X 2X＋1 从而2X＋1的分布列为 2X＋1 1 0.2 0 1 3 1 3 2 5 5 0.1 3 7 7 0.3 4 9 9 0.3 P 0.1 1．利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值