数列不等式证明技巧 遂宁市第七中学
例1.已知an?1?1?郑廷楷
211，a1?，求证(-1)a1 +(-1)2a2+…+(-1)nan<1 an7证明：先证0?a2n?1?2，a2n?2（*）
1125<2，a2??2 711∴当n=1时（*）式成立
当n=1时∵0
a2n?12(a2n?2)(a2n?1)
a2n(a2n?2)3a2n?1??423?4a2n?12554注意a2?，b1?a2?a1?
1177bbb54bn?b1?2?3??n??(2?3)n?1
b1b2bn?177bn?12(a2n?1)?=bn1a2n(a2n?2)2?2?2-3
77[1?(2?3)]因此当n为偶数时：(-1)a1 +(-1)2a2+…+(-1)nan<1成立 当n为偶奇数时多了个负加数因此原式也成立 故原命题总成立。 例2.数列{an}中，an?1?1?a，求证：对于一切正整数n都有an?1 anb1?b2?b3???bn?54?4(3?1)<1 11
1?a211?a1?a3证明：a1?1?a?，a2??a? ?a?221?aa11?a1?a1?an?111?a21?a4，猜出：an?（*） a3??a??a?1?ana21?a31?a3下面用数数归纳法证明（*）
当n=1时（*）显然成立
1?ak?1假设当n=k时（*）成立，即ak?
1?ak11?ak1?ak?2则ak?1??a? ?a?ak1?ak?11?ak?1即当n=k+1时（*）也成立
1?an?1故当n?N?时an? 成立
1?an1?an?11?an?1?1?anan(1?a)an?1??1???0，?an?1 nnn1?a1?a1?a
例3．证明： a?1,n?2，且n?N?，求证an?11?n(a?) naa1n1a(a2n?1)a(1?a2n)a?n2证明：（a?a3???a2n?1) ?n?n21a(a?1)a(1?a)aa?aan?211?nn(a?a3???a2n?1)n＝nn(an1)n?n aa11111?0，于是an?n?n(a?) aaa1例4．数列bn?3n?1,而数列an=loga(1?) (a大于1），Sn是数列an前n项之和，
bnlogabn?1求证：Sn?
3113n)?loga证明：an?loga(1?)?loga(1?
bn3n?13n?1363nSn?a1?a2???an=loga?loga???loga
253n?1363n) =loga(????253n?1由假分数的性质得
因a?1，故a?
363n473n?1?????（1） ????253n?1363n363n583n?2?????（2） ????253n?1473n?1363n363n又????＝????（3） 253n?1253n?1（1）×（2）×（3）得 363n33?4?5???(3n?2)(3n?1)(3n?2)?（???? )?2?3?4???(3n?1)2?3253n?1363n3(3n?1)(3n?2)当n≥2 时（????>3n+2=bn?1 )?253n?12?3因为a?1
logabn?1363n故有3loga(???? )?logabn?1，即Sn?3253n?1