数学悖论与数学的发展
什么是数学悖论？
“悖论(Paradox)”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 “悖论是无意义的！”“悖论没有任何作用！”这也许是某些人的看法。但请不要小看悖论，它直接导致了三次数学危机的产生。
毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。可是为人们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。后来，实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，人们接受了无理数，风波才渐渐平息。
微积分这一分析利器，却有着艰难的发展史。第二次数学危机源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中最猛烈的是英国大主教贝克莱。
贝克莱指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量Δx ，由(x + Δx)2 - x2，得到2xΔx + (Δx2)，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。而无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是0，一会儿又说不是0。就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
后来几代数学家不顾基础的不严格，论证的不严密，更多地依赖于直观去开创新的数学领地。然而粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。 无穷级数S＝1－1＋1－1＋1??到底等于什么？
当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋??＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋??＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶
恕的错误。他在得到 1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x) 后，令 x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1??＝1/2
不难看出当时数学中出现的混乱局面了。在这之后，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，重建了微积分学基础。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为了现代数学的基石。
1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。而后，公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。而这或许就是数学悖论重要意义之所在。不断地使数学完整化，完美化，正是人们在解决一个又一个悖论中所实现的。
趣味问题：
阿吉利斯悖论（Achilles Paradox）
这是由古希腊哲人芝诺（Zenon of Eleates）提出的一个经典悖论。阿吉利斯是古希腊神话中善跑如飞的英雄。阿吉利斯悖论就是说如果乌龟先跑让阿吉利斯追赶乌龟，他却永远追不上。
因为无论阿基里斯跑得多快，他必须先跑完从他出发的起点到乌龟当下距离的一半，等他赶完这段路程，乌龟又往前挪动了一些，他则必须再追其间的一半，如此一往，永无止境，尽管阿基里斯会离乌龟越来越近，但他不可能穷尽那个没有尽头的二分法论证，因此他终究不可能追上前面的乌龟。比方说，阿吉利斯的速度是乌龟的10倍，龟在前面100米处，当阿吉利斯跑了100米到乌龟出发点时龟已向前走了10米，阿氏追10米，龟又走了1米，阿氏再追1米，龟又向前走了0.1米??这样永远隔一小段距离，所以总也赶不上。
为什么呢？如何解释？