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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 向量的数乘运算
阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，
λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3.运算律：
设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝λμa； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________. ①a与－λa的方向相反； ②|－λa|≥|a|；
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③a与λa方向相同； ④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确. 【答案】 ③④
教材整理2 共线向量与向量的线性运算
阅读教材P88例5以下至P89例7以上内容，完成下列问题. 1.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，
2
μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
→→→
如图2-2-18，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则
λ＝________.
图2-2-18
→→→
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC. 又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO， →→→→→∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO， ∴λ＝2. 【答案】 2
[小组合作型]
数乘向量的定义及其几何意义
(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________. (2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3. →→①用BC表示AB； →→②用CB表示AC.
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【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：
λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍； λ＝0时，λa＝0.
1
【自主解答】 (1)由定义可知，2x－1>0，即x>.
21
【答案】 x>
2
(2)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.
→→→→
①如图b，向量AB与BC方向相同，所以AB＝2BC； →→→→
②如图c，向量AC与CB方向相反，所以AC＝－3CB.
对向量数乘运算的三点说明：
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小. (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
[再练一题]
1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； 1
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
2(3)－4a与4a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线. 【导学号：00680042】 【解】 (1)真命题.∵2>0，∴2a与a同向. ∵|2a|＝2|a|，
∴2a的模是a的模的2倍. (2)真命题.∵－3<0，
∴－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，
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