概率与统计
麻城一中 冯芬
一、 专题概览
“概率与统计”的引入拓宽了应用问题的取材范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算的内容都是考查实际能力的极好素材，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生的生活，注重考查基础知识和基本方法。
近三年考查情况如下：
2006年高考各地18套试题中，有15道此类型的解答题，其中有3道是关于概率计算的，一道涉及到正态分布的数据表格（湖北），其余的均为分布列和数学期望。
2007年高考试卷中涉及概率与统计的试题共有67道，其中文、理科相同的试题有7道，类似题有3道。分值超过20分的有广东文、理科（分别有24分、22分）、山东卷理（22分）、湖北卷理（22分），低于10分的有上海卷文、理（均为4分）、全国卷I文（5分），平均每份试卷15．2分，约占全卷的10%。
2008年大纲卷15套试题中，除上海没有命制概率大题外，其他各试题都有一道大题考查概率或统计，且湖南卷位于解答题第一题，北京卷、安徽卷位于解答题第三题，全国卷I和福建卷位于第四题，其余八个省市的试题均位于解答题中第二题。
二、 考点回顾
1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握它们的计算公式并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 3.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率。
4.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
5.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
6.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率。
7.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
8.了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差； 9.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本； 10.会用样本频率分布估计总体分布； 11.了解正态分布的意义及主要性质； 12.了解线性回归的方法和简单应用。
三、 经典例题剖析
考点一 排列、组合的应用问题
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力,多为客观题，有时也作为概率题中求基本事件数的必要步骤出现，试题中等偏难.
例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
212212A.C1 B.C1m?1Cn?Cn?1Cm mCn?CnCm2C.C1mCn?2C1nCm?112C1 D.CmCn mCn?1?1C2m?1Cn
解析：方法1：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角
2形，有C1mCn个；第二类办法 从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O
1点可构造一个三角形，有C2第三类办法 从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任mCn个；
1122111取一点，与O点可构造一个三角形，有C1mCn个 由加法原理共有N=CmCn+CmCn+CmCn个三角形
方法2 从m+n+1中任取三点共有C3其中三点均在射线OA(包括O点)，有C3三点均在m?n?1个，m?1个，
333射线OB(包括O点)，有C3n?1个 所以，个数为N=Cm?n?1－Cm?1－Cn?1个
答案 C
点评：立体几何与排列、组合的交汇题是近几年高考试题的热门试题，需高度重视,此类问题多数情况下用间接法求解更简单.
例2四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 解析：方法1：采用处理分堆问题的方法.
分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全
333排列，有A3A3种 依乘法原理，共有N=C24A3 =36(种)
方法2：分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A34种；而后，再将剩余的一名学生送到
三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因
此，共有N=
13A4·3=36(种) 2答案 36
点评：分组与分配问题是高考中排列组合题的热点问题，要学会正确区分.分配问题是指把物体分给不同的对象（如人或团体），是有顺序可言的，而分组问题只是把物件分成组（堆），组与组之间是无顺序的，
n两者有明显的不同.在分组问题中，若平均分成n组（堆），必须除以An，若部分分成m组（堆），则必须除m以Am.
考点二 二项式定理的应用
二项式定理的考查主要涉及利用公式求展形式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算，试题多属容易题.
1例3.已知(x?4)n的展开式前三项中的x的系数成等差数列。
2x（1）求展开式里所有的x的有理项； （2）求展开式里系数最大的项。
1解析：（1）∵ C0n?1,Cn?1n121?,C2()?n(n?1) n2228由题设可知2?n1?1?n(n?1),n2?9n?8?0 2834?rrx)?r?C8?2?r?x4
解得n=8或n=1（舍去）
r当n=8时，通项Tr?1?C8(x)8?r?(24据题意，4?3r必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8 4∴ r=0，4，8，故x的有理项为T1?x4，T5?135 x，T9?28256x（3）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有
rtt?1C8?2?r9?r∵ ?r?1?r?1?tr2rC8?2ttr?1≥1且r?2≤1
tr?1tr由
9?r≥1得r≤3 2rr?1?2?(r?1)tr?2C88?r又∵ ??r?rtr?12(r?1)C8?2由
8?r≤1得：r≥2
2(r?1)57x2∴ r=2或r=3所求项为T3?和T4?n77x4
例7、设a>1，n∈N，且n≥2，求证：a?1?证明：设a?1?x，则(x+1)=a
欲证原不等式，即证nx<(x+1)-1，其中x>0
n
a?1 nnn
n1n?1?1n?1∵ (x?1)n?C0???Cnnx?Cnxnx?1?Cnx?1
即(x+1)>nx+1，原不等式成立。
评注：由于(a+b)的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。 考点三、概率
高考对概率的考查着重于等可能性事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等五类事件的含义、概率的计算，且考查得比较全面，各类事件的概率几乎无一遗漏.一般考两题，一题为选择或填空题，另一题文科为考查实际应用的解答题，理科则多为与离散型随机变量结合的解答题,主要考查学生对知识的运用能力，以基础题或中档题为主. 1. 随机事件的概率
例4（2007年辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，?，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A．
n
n
1 22B．
1 11C．
3 22D．
2 11解析：设“取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数”为事件A，则A包含的有利事件有
2112?66种结果，由等可能性事件的概率公式m?C3C3?C3?12种，而从中任取两个球共有n=C12m122??.故选D. 知,P(A)?n6611点评：求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可.
2.互斥事件有一个发生的概率 例5 (2007年全国高考卷II)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)?0.96．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P(B)．
解析：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A?A0?A1，故
2 P(A)?P(A0?A1)?P(A0)?P(A1)?(1?p)2?C1p(1?p)?1?p2