概率论与数理统计复习题
一．事件及其概率
1. 设 A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) A, B, C 都不发生； (2) A, B, C 不都发生； (3) A, B, C 至少有一个发生； (4) A, B, C 至多有一个发生。 解： (1)
ABC A B C
B C
(2)
ABC A
B C AC
(3) A (4) BC
AB
0.4 , P( B) 0.6, 求 P(A B), P(A B), P( A | B) 。
2. 设 A , B为两相互独立的随机事件 , P( A)
解： P(A
B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；
P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A| B) P( A)
3. 设 A, B 互斥， P(A) 0.5， P(A
解： P(B)
0.4。
B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。
P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。
4. 设 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求 P(A
解： P(AB)
B), P( AB) 。
P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.8,
P( A B) P( A B) P( A) P( A)B 。0. 2
0.7, 求 P(A B
C) 。
5. 设 A, B, C 独立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C )
解： P(A
B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。
6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求
(1) 取到两个黄球的概率；
(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
2
1 1
C 解： (1) P
C
4 2 10
2 ；(2) P C C 4 6 15 2
C
10
8 。 15
7. 从 0 ~ 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为
解： P
5的概率。
C C C
10
1 2
1
1 5 3
12
。
1
8. 从 (0,1) 中任取两数，求两数之和小于
解：
0.8 的概率。
1
0.8 0.8 2
0.32
。
P
1
9. 甲袋中装有 5只红球， 15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，
再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？ 解：设 A “从甲袋中取出的是红球 ”， B
“从乙袋中取出的是红球 ”，则：
1
P( A) , P ( A ) ,P (B |A )
4 4 2
由全概率公式得：
1 3
,P B(
2
|A) 5
,
17
P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A)
。
40
10. 某大卖场供应的微波炉中， 甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为
85%、80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？ 解： (1) 设 A1 ,A2 ,A3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，
95%、
B 表示买到合格品，则
P( A ) 0. 5P, A(
( | )
1
2
) 0.P4 ,A (
3
) P0. B1, A( |
1
) P 0.B9 5A,
2
( | P) B0. A,8 5 ,
3
3
由全概率公式得 P( B)
i 1
P( Ai ) P(B | Ai ) 0.895 ；
0.475
95
。
0.895 179
(2) P( A | B)
1
P( A B)
1
P(A )P(B | A )
1
1
P(B) P(B)
二．一维随机变量及其数字特征
1. 已知 X 的概率密度函数
f (x)
kx 1, 0, 0 x 2 ，求
k, P X else
1
, EX 。 2
解：
2
f (x )dx
P X
1
(kx 1)dx 2k 2 1
0
k
2
1 , 2 1 x
0
1
2
1 x 1
d x
2
2
9 1 6
2
x 1 dx
。
，
EX
2
2. 设 X ~ B(3 , 0.1)，求 P
2 3
X
2
2 , P{ X 1} 。
3
解：
2 3
P{ X 2} C (0.1) (0.9) 0.027, P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.9 0.271。
37
，求 A 在一次试
3. 设三次独立随机试验中事件
验中出现的概率 p 。
A 出现的概率相同， 已知事件 A 至少出现一次的概率为
64
解：三次试验中 A 出现的次数 X ~ B (3, p) ，由题意：
2