20101. 计算：1?1年10月5日京城学而思杯数学试题（及答案）
? 13?2 。
【分析】 原式=
9 7
2. 太极拳有一招叫云手，它的动作顺序是先顺时针方向转180度，然后逆时针方向转90
度，再顺时针方向转270度，然后再逆时针方向转90度。如果最后要求再转一次就转回到与最初位置相同的位置，需要再顺时针方向转 度（每次转的度数不超过360度）。 【分析】
画图可得顺时针90 o
。
3. 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 【分析】
11?12?13?1716，12?13?14?2184，所以是2184
4. 两个棱长分别为1cm和3cm的立方体如图放置，如果在这个立体图形上切一刀，要求
切面与已有立方体的表面平行，那么得到的两个立体图形的表面积之和最大是_____cm3.
【分析】
32×6+12×4+12×2+32×2=78
。
5. 2010除以正整数N，余数是15，那么N的所有可能值的个数是 【分析】
2010?15?1995，1995?3?5?7?19，1995的约数有16个，其中小于等于
15的有5个，所以满足条件的N有11个。
6. 甲、乙两位运动员从400米跑道的同一地点同时出发同向而行，绕着跑道练习跑步，
已知甲每60秒跑一圈，乙每68秒跑一圈，那么甲会在跑第 圈的时候第一次从后面超过乙。 【分析】
甲：8?60?480，9?60?540
乙：7?68?476，8?68?544 所以甲跑第9圈的时候超过乙。
7. 将100个5分硬币排成一排，每次操作都从第一个开始。第一次操作将硬币按顺序1，
2，1，2……数，然后将数到2的硬币全部用1角硬币替换；第二次操作将硬币按顺序1，2，3，1，2，3……数，然后将数到3的硬币全部用5角硬币替换；第三次操作将硬币按顺序1，2，3，4，1，2，3，4……数，然后将数到4的硬币全部用1元硬币替换，那么经过上述操作后这100个硬币的总值是 元。 【分析】
显然12个硬币为一个周期，我们考察前12个硬币，依次为5分，1角，5角，
1元，5分，5角，5分，1元，5角，1角，5分，1元。总和为4.9元，所以100个总和为4.9?8?1.65?40.85元。
8. 有一个电子表的表面用2个数码显示“小时”，另用2个数码显示“分”。例如“21：
32”表示21时32分，那么这个手表从“10：00”至“11：30”之间共有 分钟表面上显示有数码“2”. 【分析】
显示小时的数码不会出现2，只有分钟会出现。10点到11点分别有2，12，
20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11点到11点半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分钟。
9. 下图中有四条弦，每一条弦都把大圆分割成两个面积比为1:3的区域，而且这些弦的交
点恰好是一个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成9个区域，则此正方形的面积是区域P面积的 倍。（??3.14）
P 【分析】 去掉两边的弓形之后，中间部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积
和就等于圆面积，所以重叠部分面积等于4个P面积的和。即正方形面积是P的4倍。
10. 老王批发了桃子和香蕉两种水果去市场上销售，成本共250元。一开始桃子按50%的利润
定价，香蕉按60%的利润定价，结果一个也没有卖出去。后来他只好把两种水果都按定价的90%销售，卖完后共获得利润101元。那么桃子的成本是 元。 【分析】 设桃子成本为x，香蕉成本为y
桃子 香蕉
成本 x y
九折后定价 150%?90% 160%?90%
可列方程 x?y?200
(1.35?1)x?(1.44?1)y?101
解得 x?100 那么，桃子成本100元。
11. 如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交
CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2.
AEBHICFGJD
【分析】 连结EG、FJ可得GI：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH的十
分之二，也就是大正方形的十分之一，为10 cm2
12. 在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进制中的
147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数 。 【分析】
（147）（77）（49）（29）10?20，10?20，所以ha代表十位，ugens代表个位，dew代
表9，naw代表2。（92）20=（182）10，所以答案是182.
13. 巍巍、涛涛分别从A、B两地同时相向出发，往返跑步，第一次相遇地点距离A地600
米；巍巍到B地、涛涛到A地后都立即返回，且速度均变为原来的3倍，两人第二次相遇地点距离B地300米，那么，A、B两地相距＿＿＿米．
1【分析】 如果返回时不提速，那么巍巍能行100米，此时两人合走了2个全程，第一
31次相遇两人合走了1个全程，所以两次所花时间比为2:1，巍巍到第2次相遇共走了
31600?2?1400米，所以全程为1400?100?1300米。
3
14. 在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在
将7张选票逐一唱票的过程中，昊昊的得票始终没有超过铮铮。那么这样的唱票过程有 种不同的情况。 【分析】 标数法（1）7张全是铮铮，1种； （2）6张铮铮,1张昊昊,6种； （3）5张铮铮,2张昊昊,14种； （4）4张铮铮,3张昊昊,14种。 一共35种。
15. 包包给自行车装配8档变速齿轮装置，他选择了两个不同的前齿轮，它们的齿数在40
和60之间（包含40和60），以及四个不同的后齿轮，齿数在5到35之间（包含5和35），齿轮的传动比等于前齿轮的齿数除以后齿轮的齿数. 例如，如果他选择了45和55个齿数的前齿轮，还选择了8、13、18、22个齿数的后齿轮，那么得到的8个传动
4545454555555555比就是，，，，，，，. 选择不当的话，某些传动比就会相
813182281318224555同（例如），就得不到8个不同的传动比. 如果包包选择不当，他得到的不同?1822传动比的最小数目是 个，此时后齿轮中最大齿数是 . 【分析】
令两个前齿轮齿数是A和B（A BBBBAAAAAB显然有???和???，要使传动比数目小，理想情况下?， abcdabcdabABABBbcdBB?，?，此时只有5个不同的传动比. 所以有???，d?()3a， AabcAbccdA是个分数，所以a是某个3次方数的倍数，如果a是27的倍数，d就会超过35，所以 B3a只能是8的倍数，取?，尝试得后4个齿轮齿数分别是8，12，18，27，前齿数 A2分别是40和60是唯一符合情况的4个齿数. 所以不同传动比的最小数目是5个，后齿轮中最大齿数是27.