f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz) （4）由上面知，当?≤5%时，ω/ωn=3.0424
当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π310=20π(rad/s)时 ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s) 又由ωn=1/RC，则
6-84
C=1/ωnR=1/(20.6531310)=4.84310(F)=4.84?10pF 5-5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。
解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意
??1?1???/???n22?1?2%?4?2??/?n?22（取等号计算）
?1/1.02则 ?1???/???n
4222
1+(ω/ωn)﹣2(ω/ωn) +430.5(ω/ωn)=0.96
42
(ω/ωn) ﹣(ω/ωn) +0.04=0
22
解出 (ω/ωn) =0.042或(ω/ωn) =0.96（舍去） 所以 ω/ωn =0.205 或?0.205（舍去） ?=0.205?n
则 fH =0.205f0 =0.205330=6.15(kHz)
压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性
K????22?4???/?n?2?/?n21???/?n????1?????2
????1????由题意得
?2?1??2% （取等号计算）
???0.981????(??) =0.9604+0.9604 (??)
2
(??) =24.25 ??=4.924 ω=4.924/τ
fL =ω/2π=4.924/(2??)=4.924/(2?RC)=4.924/(2?353108310?9 ) =1.57(Hz)
其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz
2
5-6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm，厚度为1mm，固定在两金属
10
板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9310Pa，电
2
?2
2
荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是10Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：
(1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容
Ca?14
?0?rSd?8.85?10-?12
?12?5.1?100?10?3?61?10 =4.514 310 (F) ≈4.5pF
148
由于Ra =10Ω，并联电容R并=100MΩ=10Ω
1488
则总电阻 R=Ra // R并 = 10 //10 ≈10Ω 总电容 C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF) 又因 F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N kq =2 pC/N
则电荷 Q=d11 F= kq F
Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N30.01N=0.02 pC
所以
??
3
=0.756310? (V)=0.756mV 峰—峰值： Uim-im =2Uim =230.756=1.512mV
6109
（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100310?39310 )=1.11310? =Δdm /d
99
Δdm =d?m =131.11310? (mm)=1.11310? mm 厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）
99
Δd =2Δdm =231.11310? =2.22310? (mm)
12
=2.22310? m
5-7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)
解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度
K=Kq?Ku =5pC/g 350 mV/pC=250mV/g=Uo/a
式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。
则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为
1???RCUim?d11Fm?R?2?0.02?103?12?10?103821?10?10?24.5?108?12 a=Uo/K=2310/250=8(g)
5-8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?
解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为
???/?n1???/?n?23
?1??5%，（取等号计算）
2 2
(ω/ωn) =0.9025+0.9025 (ω/ωn)
ω/ωn =3.04
τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π31)=0.484(s)=RC
2
?/?n?0.951???/?n?所以
R=τ/C=0.484/(500310?) =9.68310?=968M?
5-9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。
解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为
12
8
??241?1???/???n22?1?5%?4?2??/?n?2
1?2???n?????n??4?0.1???n??0.90722 （取等号）
42
(ω/ωn)﹣1.96(ω/ωn) +0.093=0
22
解出 (ω/ωn) =0.0485或(ω/ωn) =1.912（舍去） 则 ω/ωn≈0.22 ωH =0.22ωn
则 fH =0.22f0 =0.22332=7.04(kHz)
5-10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。 解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷
Q=80 pC/Pa 31.4Pa=112 pC
输出电压为
129
Ua =Q/Ca =112310? /(1310?)=0.112(V)
5-11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。 解：测力环总灵敏度
n?1???/???22?4?2??/?n?2?1/1.05 K=3.9 pC/N 310mV/pC=39 mV/N = U0/F 式中，U0为输出电压，F为被测力，所以
F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)
3
F2 =U02 /K=10310 mV/39mV/N=256N (拉力)
3
F3 =U03 /K=﹣75310 mV/39mV/N=﹣1923N (压力)
5-14某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆
-12
片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31X10C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。 解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷
2
Q并=2Q=2?d11 F=2?d11 ?πr
12622
=232.31310?30.1310 3π3(1310? )
12
=145310? (C) =145pC 总电容
2
C并=2C=2?0?rS/h=2?0?r?r /h
12223
=238.85310?34.53?3(1310?)/0.2?10?
?12
=125.1310 (F) =125.1pF 电极间电压为
U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V
第6章 磁电式传感器
6.1 简述变磁通式和恒磁通式磁电传感器的工作原理。 6.2 磁电式传感器的误差及其补偿方法是什么？ 6.3简述霍尔效应及霍尔传感器的应用场合
6.4 霍尔元件能够测量哪些物理参数?霍尔元件的不等位电势的概念是什么，温度补偿的方法有哪几种
6-5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大? 解：
f0 =20Hz ， k=3200N/m时， 2?2??n?k/m?2?f0?f0?1k/m?2?m?k/f0
m?3200/20?22f0′=10Hz时，由
k?2?k?2?mf0' ?102?800??/m?则
6-6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。 解：由??k/m，则
222
k=ω m=(2?f) m=(2?310)32.08/9.8
2
=8.38310 (N/m) Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0
3
=15003134310? =6V/(m/s)=6000mv/(m/s)
6-7某磁电式传感器要求在最大允许幅值误差2％以下工作，若其相对阻尼系数ξ=0.6，试求ω/ωn的范围。 解：由磁电势传感器的幅频特性
mf0'?222??2??2A??????/?n?2
得其幅值动态误差为
???1???/???n22?4?2??/?n?2
?1?2%??2n2/?n?22
???n?4?1.02?1???/?????1??????n?4?2??/?n?2222?4?0.6???n?2?
取其等号计算
22
解得 (ω/ωn) =12.354，或(ω/ωn) =2.067
ω/ωn =3.515，或 ω/ωn =1.438（舍去） 最大幅值误差小于2%时，其频率范围ω/ωn ≥3.515
3
9-3 某霍尔元件l3b3d=1033.531mm，沿l方向通以电流I=1.0mA，