第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
年份 卷别 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 直线与抛物线的位置关系·T8 双曲线的几何性质·T11 双曲线的几何性质·T5 椭圆的几何性质·T12 双曲线的几何性质·T11 直线与抛物线的位置关系·T16 直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2016 卷Ⅱ 卷Ⅲ 本不等式的应用·T10 双曲线的几何性质·T15 双曲线的几何性质·T9 双曲线的渐近线及标准方程·T5 双曲线的几何性质与标准方程·T5 抛物线与圆的综合问题·T10 双曲线的定义、离心率问题·T11 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11
圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)
圆锥曲线的定义、标准方程
名称 定 义 椭圆 |PF1|＋|PF2| ＝2a(2a> |F1F2|) x2y2＋＝1 a2b2(a>b>0) 双曲线 ||PF1|－|PF2|| ＝2a(2a< |F1F2|) x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) [典型例题] x2y2
(1)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的
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周长最大时，△FMN的面积是( )
抛物线 |PF|＝|PM| 点F不在直线l 上，PM⊥l于M y2＝2px (p>0) 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11 题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等． 2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大. 命题分析 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 标准方程 A.5 565B. 545D.
5
85C. 5
x2y2
(2)设F1，F2分别是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若
ab|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.2x±y＝0 C．x±2y＝0
B．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′. 因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
2b285
此时|MN|＝＝，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时
a518585
△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
255
(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a最小，所以∠PF1F2＝30°.
|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|216a2＋4c2－4a23
在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30°＝＝＝，
2|PF1||F1F2|22×4a×2c整理得c2＋3a2＝23ac，解得c＝3a，所以b＝
c2－a2＝2a.
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A. 【答案】 (1)C (2)A
(1)椭圆的焦点三角形的几个性质
x2y2
①已知椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2
abθ
中∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2tan . 2
x2y2
②已知椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，
ab若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点．
2b2
③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为.
a(2)双曲线的焦点三角形的几个性质
x2y2
若双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上任
ab
意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：
b2
①设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝.特别地，当∠F1PF2＝90°时，有S△F1PF2＝b2.
θtan2②双曲线的焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点．当点P在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点P在双曲线右支上时，切点为右顶点．
[对点训练]
x2y2
1．(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2－2＝1(a>0，
abb>0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
x2y2
A.－＝1 28x2y2
C.－＝1 416
x22
B.－y＝1 4y2
D．x－＝1
4
2
解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以 y2
曲线C的方程为x－＝1，故选D.
4
2
b21＋2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双a
2．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D.若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝( )
A．1 C．3或9
解析：选D.分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l， 且垂足分别为A1，B1， 依题意，易证BD∥x轴， 所以D与B1重合．
由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB1|， 所以∠BEB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3， |BD||BE|如图1，＝，
|AA1||AE||BD|2|BD|所以＝，
33|BD|＋3解得|BD|＝1， |BD||BE|如图2，＝，
|AA1||AE|
B．3 D．1或9