7.f(x)和g(x)是数域F上的两个多项式。证明：如果f(x)整除g(x)，即：f(x)g(x)，并且g(x)h(x)，那么f(x)h(x)。
8.设f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)。证明：如果(f(x),g(x))?d(x)，且f(x)和g(x)不全为零，则(f1(x),g1(x))?1。
9.设p(x)是F[x]中次数大于零的多项式，若?f(x),g(x)?F[x],只要p(x)|g(x)f(x) 就有p(x)|g(x)或p(x)|f(x)，则p(x)不可约。
10.设g(x),f(x)?F[x]，证明：如果(f(x),g(x))?1，那么对?h(x)?F[x]，都有
(f(x)h(x),g(x))?(h(x),g(x))。
11.设p(x)是多项式f(x)的一个k(k?1)重因式，那么p(x)是f(x)的导数的一个
k?1重因式。
12.设a,b,c,d?F，且ad?bc?0，对于任意的f(x),g(x)?F[x]，则有(f(x),g(x))?
(af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x))。
13.设(f(x),g(x))?1，试证：（1）(f(x),f(x)?g(x))?1； （2）(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1
b?cc?ac1?a1c2?a2a?ba2?b2aa2bb1b2cc1c214.试证：b1?c1b2?c2a1?b1?2a1。
?1?115.设A???M??1a1??a2??11L，B??M??b1b2L?an?1??．（1）计算AB及BA； bn?nnn（2）证明：BA可逆的充分必要条件是(?ai)(?bi)?n?aibi；
i?1i?1i?1（3）证明：当n?2时，AB不可逆。
16.若n阶矩阵A满足A2?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E??1。 17.若n阶矩阵A满足A2?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E??1 18.设n阶方阵A的伴随方阵为A*,证明：若A?0,则A*?0。
19.设A,B是n阶可逆矩阵,证明:(1)(A?)?1?(A?1)?；(2)乘积AB可逆。 20.证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。
21.证明：1）若向量组?1??n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 2）若向量组?1??n中部分向量线性相关，则向量组?1??n必线性相关。 22.已知A为n阶方阵，A*为A的伴随阵，A?0，则A*的秩为1或0。 23.设A为n阶阵，求证，rank(A?I)?rank(A?I)?n。
?AC?24.设P??是一个n阶方阵，其中A,B分别是r阶，s阶可逆阵，r?s?n， ??0B??A?1???0?2?1?A?1CB?1??，（2）设P???1?0B???01?1100121n?1（1）证明P?12??1??，求P?1。 5??3?25.设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*,证明：A??A.
26.已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A*也可逆,且(A*)?1?(A?1)*。 27.设A，B均为n阶方阵，证明：
ABBA?A?B?A?B
28.令A?是n(n?2)阶矩阵A的伴随矩阵，试证：（1）detA??(detA)n?1； （2）(A?)??(detA)n?2A。
29．设A，其中A?0并且AC?CA，证明：C，B，D都是n阶矩阵，
ABCD ?AD?CB。
30.已知方阵A满足A2?2A?I?0，试证：A可逆，并求出A?1。
31.设A是一个秩为r的m?n矩阵，证明：存在一个秩为n?r的n?(n?r)矩阵B，使
AB?0。
32.证明：设A是n?n正定矩阵，证明A6也是正定的。 33.证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。
34.设U是一个正交矩阵，证明：(1)U的行列等于1或?1；（2）U的特征根的模等于1；
（3）U的伴随矩阵U*也是正交矩阵。
35.设U是一个正交矩阵，且U?1，证明：①U有一个特征根等于1。②U的特征多项式有形状f?x??x3?tx2?tx?1,这里?1?t?3。
36.设矩阵X?(x1,x2,?xn)T满足XTX?1，E为n阶单位阵，H?E?2XXT，证明H是对称阵，且HHT?E。
37.设向量组?1,?2,L,?r线性无关，而向量组?1,?2,L,?r,?线性相关，证明：?可以由?1,?2,L,?r线性表出，且表示法唯一。
38.证明向量?1,?2,L,?r（r?2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。
39.设向量?可由向量组?1,?2,L,?s线性表示，证明表法唯一的充要条件是
?1,?2,L,?s线性无关。
40.设在向量组?1,?2,L,?r中，?1?0并且每一?i都不能表成它的前i?1个向量
?1,?2,L,?i?1的线性组合，证明?1,?2,L,?r线性无关。
41.不含零向量的正交向量组是线性无关的。
42.证明向量?1,?2,L,?r（r?2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。
43.设向量组{?1,?2,L,?r}线性无关,而{?1,?2,L,?r,?}线性相关,那么?一定可以由?1,?2,L,?r相性表示。
44.设?,?,?线性无关，证明???,???,???也线性无关。 45.设向量组{?1,?2,?,?n}线性无关，且?k??bki?i(k?1,2,?,n)
i?1nb11L，?n线性无关的一个充要条件是证明?1，?2，b12b22????b1nb2n?0 ?bnnb21?bn1bn2?46.设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1,证明向量组?1,?2,?3,?4线性相关
47.已知R(?1,?2,?3)?2，R(?2,?3,?4)?3，试证向量组?1能用?2，?3线性表示。 48.设?1,?2,L,?s是非齐次线性方程组AX?b的s个解，k1,k2,…,ks为实数，且
k1?k2?L?ks?1，证明x?k1?1?k2?2?L?ks?s也是它的解。
49.设?*是非齐次线性方程组AX?b的一个解，?1,?2,L,?n?r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：?*,?1,?2,L,?n?r线性无关。
50.设?*是非齐次线性方程组AX?b的一个解，?1,?2,L,?n?r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：?*,?*??1,?*??2,L,?*??n?r线性无关。
51.设W1,W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1?W2也是V的一个子空间。 52.设W1,W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1IW2也是V的一个子空间。
53.（维数定理）设W1,W2都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么W1?W2也是有限维的，并且dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(W1IW2)。
54.n个变量的二次型q(x1,x2,?,xn)???aijxixj的一切主子式都大于零，则
i?1j?1nnq(x1,x2,?,xn)是正定的。
1?2?1?2?2??3?3155.设?1,?2,?3是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证：?2??2?1??2?2?3?
31?3???1?2?2?2?3?3?1?也是V的一个标准正交基。
56．设?1,?2是线性变换A的两个不同特征值，?1，?2是分别属于?1,?2的特征向量，a,b都是非零常数，证明：向量a?1?b?2不是A的特征向量。 57．设A的特征值为?，如果A可逆，证明：A?1的特征值为1。
??，?n分别是?的属于58.令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果?1，?2，?，?n的本征向量，证明?1，?2，?，?n线性无关。 互不相同的本征值?1，?2，59.令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果?1,?2,L,?n分别是?的属于互不相同的特征值?1,?2,?,?n的特征向量，那么?1,?2,L,?n线性无关。
60.设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是正交变换又是对称变换，证明?2是单位变换。
61.设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是对称变换，且?2是单位变换。证明?是正交变换。
62.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换,两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
63.设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果?满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）?是正交变换，（ii）?是对称变换，（iii）?2?I是单位变换。
64.证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。
65.令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)?的特征多项式的根都在
C内；(ii)对于?的特征多项式的每一根?，本征子空间V?的维数等于?的重数，
证明：?可以对角化。