（2） 纠正个错误，要求码的最小距离d（3） 纠正个错误同时检测
?2t?1；
个错误，则要求
d?t?e?1；
循环码的译码分检错译码与纠错译码两类。在无记忆信道上，对码字c，差错图案e和接收向量r的多项式描述为
r(x)?c(x)?e(x)
定义r(x)的伴随多项式为s(x)
s(x)?r(x)(modg(x))
?s0?s1x?s2x2???sr?1xr?1
由于c(x)?a(x)g(x)?0(modg(x)),所以 s(x)由此可见，s(x)?e(x)(modg(x))
?0则一定有差错产生，或说满足e(x)(modg(x))?0的差错图样e(x)产生，它满足e(x)(modg(x))?0。
循环码的检错译码即是计算s(x)并判断是否为0
1.6 循环码的纠错译码原理
纠错码的译码是该编码能否得到实际应用的关键所在。译码器往往比编码较难实现，对于纠错能力强的纠错码更复杂。根据不同的纠错或检错目的，循环码译码器可分为用于纠错目的和用于检错目的的循环码译码器。
通常，将接收到的循环码组进行除法运算，如果除尽，则说明正确传输；如果未除尽，则在寄存器中的内容就是错误图样，根据错误图样可以确定一种逻辑，来确定差错的位置，从而达到纠错的目的。用于纠错目的的循环码的译码算法比较复杂。
当码字c通过噪声信道传送时，会受到干扰而产生错误。如果信道产生的错误图样是e，译码器收到的n重接受矢量是y,则表示为：
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y?c?e （2—15） 上式也可以写成多项式形式：
y(x)?c(x)?e(x) （2—16） 译码器的任务就是从y(x)中得到e(x)，然后求的估值码字
^c(x)?y(x)?e(x) （2—17）
并从中得到信息组m(x)。
?^^循环码的译码过程：
第一步：由接收到的y(x)计算伴随式s(x);
第二步：根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样e(x)；
^^??第三步：计算c(x)?y(x)?e(x)，得到估计码字c(x)。若c(x)?c(x),则译码正确，否则，若c(x)?c(x)，则译码错误。
由于g(x) 的次数为n - k 次，g(x) 除E(x) 后得余式（即伴随式）的最高次数为n-k-1次，故S(x) 共有2n-k 个可能的表达式，每一个表达式对应一个错误格式。可以知道(15,7）循环码的S(x) 共有2(15-7) = 256个可能的表达式。
本课程设计中采用（15,7）循环码由生成矩阵可得其最小码距dmin为5 由最小码距可得其纠检错能力可知其最多可检4位错，可纠2位错。 其伴随式如表1所示。
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^^
表1 （15，7）循环码错误图样错误图样 伴随式 纠错 无错 第一位错 第二位错 第三位错 第四位错 第五位错 第六位错 第七位错 第八位错 第九位错 第十位错 第十一位错 第十二位错 第十三位错 第十四位错 第十五位错 e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0 0 0 0 0 0 0 0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] s=[1 0 0 0 0 0 0 0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0] s=[0,1,0,0,0,0,0,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0] s=[0,0,1,0,0,0,0,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0] s=[0,0,0,1,0,0,0,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0] s=[1,0,0,0,1,0,0,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0] s=[0,1,0,0,0,1,0,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0] s=[1,0,1,0,0,0,1,0] e=[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0] s=[1,1,0,1,0,0,0,1] e=[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,1,1,0,1,0,0,0] e=[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,1,1,0,1,0,0] e=[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,0,1,1,0,1,0] e=[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,0,0,1,1,0,1] e=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,0,0,0,1,1,0] e=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,0,0,0,0,1,1] e=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] s=[0,0,0,0,0,0,0,1]
上式指出了系统循环码的译码方法：将收到的码字R(x) 用g(x) 去除，如果除尽则无错；否则有错。如果有错，可由余式S(x) 一一找出对应图样，然后将错误图样E(x) 与R(x) 模2 和，即为所求码字C(x) ，从而实现纠错目的。
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二、（15,7）循环码程序设计
本设计分为三大模块： （15,7）循环码仿真模块、（15,7）循环码译码仿真模块、（15,7）循环码误码性能分析模块
2.1（15,7）循环码仿真模块
按照循环码的编码原理设计流程图如下
开始 输入消息m（x）如[1 1 1 0 0 0 0]
结束 输出码字C（x） 确定c(x): c(x)?m(x)xn?k?r(x) 确定余式r(x): r(x)?m(x)xn?kg(x)
图2-1 （15,7）循环码编码程序流程图
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