第3章 数据的集中趋势和离散程度
一、知识结构与回顾
?整理数据一组数据?数和众数 ?合理选用平均数、中位???寻找数据的代表?小心平均数的误用?
1、平均数、中位数、众数的概念及举例
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一般地对于n个数X1，……Xn把n （X1+X2+…Xn）叫做这n个数的算术平均数，简称平均数. 如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，满分都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、外语三项测试成绩的权.如果在n个数中，x1出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次，… …x n出现fn次，（其中f1+f2+f3+……+fn=n），这n个数的平均数可表示为：x?x1f1?x2f2?x3f3??xnfn.
n 中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数.
众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据.如3，2，3，5，3，4中3是众数.
一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有.
2、平均数、中位数和众数的特征
（1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数. （2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁.
（3）中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有
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数字的信息.
（4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”. 3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数. 4、利用计算器求一组数据的平均数
当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释． 5、方差和标准差 方差
描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据方分别是
中，各数据与它们的平均数 的差的平
，那么我们求它们的平均数，即用
标准差
有些情况下，需用到方差的算术平方根，即
并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
4、利用计算器求一组数据的方差
当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决. 二、全章综合剖析
平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的
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角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，避免平均数的误用.这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这表明平均数充分地反映了一组数据的信息.
中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是部分数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势.
众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势.
极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描述一组数据的稳定性的.一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 三、例题精讲
类型之一 求平均数及应用
例1 已知两组数据x1，x2，x3，…xn和y1，y2，y3，…yn的平均数分别为x，y，求（1）2x1，2x2，2x3…2xn的平均数 （2）2x1+1，2x2+1，2x3+1…2xn+1的平均数（3）x1+y1，x2+y2，x3+y3…xn+yn的平均数. 分析:化单纯的知识记忆为理解记忆.
（1）的平均数为2x;（2）的平均数为2x+1; （3）的平均数为x+y.
例2 一家公司对A、B、C三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示： 创新 综合知识 语言 测试项目
测试成绩
A 72 50 88
B 85 74 45
C 67 70 67
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？
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