极限→导数（2007.12）
第一部分：极限
一、 对极限概念的理解问题:
例1．下列正确的命题有哪几个？ （1）、（3） ； (1) 函数f(x)在点x0的极限与f(x0)无关 (2) 若liman?0，则必有limanbn?0
n??n??(3) 有的函数在任意一点都不存在极限 (4) 若limf(x)?0，则f(0)?0
x?0(5)若函数f(x)在区间I上连续，则函数f(x)在区间I上一定有最大值。
110000?0 (7) lim?0
x??2xx??1?x222例2．已知点A(0,),B(0,?),C(4?,0)，其中n为正整数，设Sn表示?ABC外接圆的
nnn面积，则limSn?4? ；
(6) limn??二、 求下列各数列极限的值，并总结出求数列极限的几种常用方法；
nC2515n3?4n?3nlim?(1) lim (2) ； ?n?13n??n??22C2n?12n?312n?3n4n?2n?1? ; (4) lim? 0 ; (3) limn?1n?2nn??2n??9?3n?3?111; (6) lim(n?1?n)n?;
n??n??2n?2?n?221(1?)p?1?1111n???]? 2 ; (8) lim?p?1; (7) lim[?n??1n??11?21?2???nn(5) limn?1?n?1?
三、求下列各函数极限的值，并总结出求函数极限的几种常用方法；
11?2x?3x2?(1?3)x?3? 0 ; (1) lim()＝ ； (2) lim2x?3x?02x?4x?1x2?4(3) lim(2003?2004)? 2003 ; (4) lim＝ 4 ；
x???x?2x?231x3?12?x?3????lim(5) lim ; (6) ;
x??13x2?x?2x?158x2?1x1sin??2004x2??; (8) lim? 2004 ; (7) lim2x??x???2x?15?2?x?x?1 (9) ．lim
sinx1?? ； (10)lim(xtgx?1)? ?1 ；
?x?02x24x?4四、倒向极限问题：
?x2?ax?b (x?1)?(x?1)在点x?1处有极限，试求a,b之间的关系式； （1）f(x)??0 ?3ax?2b (x?1)?答案:2a?3b?1
(2) lim(x?1?ax)?0，求a的值；
x???2答案:a??1
?1?1?x (x?0)?（3）若f(x)??在点x?0处连续，求a的值； x?a?bx (x?0)?答案:a??1 22ax2?(a?2)x?1（4）已知f(x)?(a是常数） 22ax?(a?1)x?a11） 若limf(x)?，求a的值；
x?122） 若limf(x)不存在，求a的值；
x?1答案:1) a??1 ; 2) a?1
第二部分：导数
例1.（1） 若函数y?f(x)在点x?x0处可导，且lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0)?1，则
?xf'(x0)?1 ; 3?x?0（2）若函数y?f(x)在点x?x0处可导，则lim
例2.求下列各函数的导数
f(x0??x)?f(x0)??f'(x0) ;
?x2x1．y?3x?sinx?lnx 2、y?e 3．y?cos(?x) 4. y?3x
412x 2. y'?2e x21?3 3. y'??sinx 4. y'?x
3答案:1. y'?12x?cosx?3
134x? 33（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程；
答案：（1）4x?y?4?0 （2）4x?y?4?0或x?y?2?0
例3．已知曲线y?2例4．物体的运动方程是s?2t?5t，求物体在t?10时的速度；
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例5．证明方程x?
1sinx?0有且只有一个实根； 25x3例6．证明：当0?x?时，sinx?x?，并依此比较sin1与的大小；
266例7．（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ）
?A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
32例8.已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极大值5，其导函y?f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.
y y?f?(x)b aO x 答案：a?2,b??9,c?12
例9． 已知函数f(x)??x3?3x2?9x?a，
（1） 求f(x)的单调减区间；
（2） 若f(x)在区间[?2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；
答案：（1）f(x)的单调减区间为：(??,?1)或(3,??) （2）所以f(x)在[?2,2]上的最小值为f(?1)??7
例10．已知函数f(x)??x2?8x,g(x)?6lnx?m
（１） 求f(x)在区间[t,t?1]上的最大值h(t)；
（２） 是否存在实数m，使得y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同
的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。
??t2?6t?7?答案：（1）h(t)??16??t2?8t?(t?3)(3?t?4)（2）m?(15?6ln3) (t?4)
例11．（2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
答案：a的取值范围是（－∞，1]
例12．函数f (x) 对一切实数x ,y均有f(x?y)－f(y)?x(x?2y?1)成立，且f (1)＝0。 （Ⅰ）求f (0)的值；