第3讲 排列、组合与二项式定理
1．求(1－x)的二项展开式中，x的系数与x的系数之差．
20
9
r解：由(1－x)?Tr＋1＝C20(－x)＝(－1)C20x2.
20
rrrr所以＝1?r＝2?x的系数为C20，＝9?r＝18?x的系数为C20.
22所以C20－C20＝C20－C20＝0.
2
18
2
2
r2
r918
?3x＋1?n2．若??的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中的有理项．
x??
解：令x＝1，则2＝1 024，解得n＝5. 10－3r?1?rr5－rTr＋1＝C5(3x)??＝C5·3·x2，
?x?
r5－r2n10－3r有理项即使为整数，
2
r＝0、r＝2、r＝4，有3项，
即T1＝243x，T3＝270x，T5＝15x.
2??*
3．已知?x－2?(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
x??(1)求展开式中各项系数的和； 3
(2)求展开式中含x2的项．
解：由题意知，第五项系数为Cn·(－2)，
Cn·（－2）10
第三项的系数为Cn·(－2)，则有2， 2＝
Cn·（－2）1
2
2
4
4
4
4
5
2
－1
n化简得n－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)． (1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)＝1. 2?kk2k8－k?k(2)通项Tk＋1＝C8(x)?－2?＝C8(－2)x?x?
8-k－2k8
2
，
33
8－k3令－2k＝，则k＝1，故展开式中含x2的项为T2＝－16x2.
224．二项式(2x－3y)的展开式中，求： (1)二项式系数之和；
9
(2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．
解：设(2x－3y)＝a0x＋a1xy＋a2xy＋…＋a9y. (1)二项式系数之和为C9＋C9＋C9＋…＋C9＝2. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝5，
5－1
将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．
2
5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C5C3＋C5C3种，后排有A5种，共有(C5C3＋C5C3)·A5＝5 400种．
(2)除去该女生后，先取后排，有C7·A4＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C7·C4·A4＝3 360种．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C6种，再安排该男生有C3种，选出的3人全排有A3种，共C6·C3·A3＝360种．
3
3
1
3
3
1
4
1
4
4
4
5
32
41
5
32
41
9
9
9
0
1
2
9
9
9
9
8
72
9
?x＋1?n?的展开式中，前三项系数成等差数列． 6．已知?4??2x??
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x项的系数．
1112
解：(1)因为前三项系数1，Cn，Cn成等差数列．
2411122
所以2·Cn＝1＋Cn，即n－9n＋8＝0.
24所以n＝8或n＝1(舍)．
?4?r?1?rr4－3r1?＝??·C8·x，r＝0，1，…，(2)由n＝8知其通项Tr＋1＝C8·(x)·?1 4x??2??2
r8－r8.
所以第三项的二项式系数为C8＝28.
2
?1?2
第三项系数为??·C8＝7.
?2?
3
(3)令4－r＝1，得r＝4，
435?1?4
所以含x项的系数为??·C8＝.
8?2?
7．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C4C4C3×A2＝144种．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C4种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一C4C22
类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有2·A2种方法．
A2
312412
22
2
121
2
2
4
?312C4C22?故共有C?C4C1A2＋2·A2?＝84种．
A2??
2
4
22
8．(2019·南京、盐城模拟)已知
m，n∈N*，定义fn(m)＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
.
m！
(1)记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；
(2)记bm＝(－1)mfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．
??0，m≥n＋1，
解：(1)由题意知，fn(m)＝?m
?Cn，1≤m≤n.???0，m≥7，
所以am＝?m
?C6，1≤m≤6.?
m所以a1＋a2＋…＋a12＝C6＋C6＋…＋C6＝63.
??0，m≥2，
(2)当n＝1时，bm＝(－1)mf1(m)＝?则b1＋b2＝－1.
?－1，m＝1，?
m126