第三章 微分中值定理及其应用
一、 微分中值定理及其应用网络图
二、内容与要求
1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并会用柯西中值定理. 2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
3. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.
4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.
重点 罗尔定理、拉格朗日中值定理、用洛必达法则求未定式极限. 难点 罗尔定理、拉格朗日中值定理、 泰勒定理
三、概念、定理的理解与典型错误分析
定义3.1 若存在x0的某邻域
，使得对一切
，都有
则称
为极大值（极小值），称x0为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、
极小值点统称为极值点。
定理3.1(费马（Femat）定理)（取到极值的必要条件）
设f(x)在点x0处取到极值，且反之不真，例如
存在，则
但f(0)不是极值。
证明F（x）在某点x0处
费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x)，使
取到极值且存在，由费马定理知即
定理3.2( 罗尔（Rolle）定理) 设f(x)在闭区间[a,b]上满足下列三个条件：
（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)在开区间（a,b）内可导；（3）则至少
存在一点使
，使
即方程f(x)=0
推论 在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在（a,b）内必有一点的两个不同实根之间，必存在方程f'(x)=0的一个根。
罗尔定理的应用：1 证明f(x)=0有一个根，找到一个F（x）,使闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件，
，验证F（x）在某
则至少存在一点证含有
的等式，通过分析转化为
。2 证明适合某种条件
形式，对F(x)应用罗尔定理即可。
的存在性：把待
定理3.3(拉格朗日（Lanrange）定理) 若f(x)在闭区间[a,b]上满足下列二个条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续 ; （2）f(x)在开区间（a,b）内可导，则至少存在一点
拉格朗日定理的结论常写成下列形式：
上式中当a>b时公式仍然成立，即不论a,b之间关系如何，
总介于a,b之间，由
所以
拉格朗日定理是连结函数值与导函数值之间的一座桥梁，特别适合给出导数条件，要证明函数值关系的有关结论，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要应用是证明不等式.
定理3.4(单调性定理 ) 设f(x)在区间X(X可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半闭半开区间，也可以无穷区间)上连续，在X内部可导（不需要在端点可导），
（1）若（2）若（3）若
内部，内部，内部，
则f(x)在区间X上递增。 则f(x)在区间X上递减。 则f(x)在区间X上是常值函数。
若（1）中若（2）中
，则f(x)在区间X上严格递增， ，则f(x)在区间X上严格递减。
内部，
且f(x)在
推论 若f(x)在区间X上连续，在区间X内部可导，当X的任何于区间上，
证 由
则f(x)在区间X上严格递增（减）。
，知f(x)在区间X上递增，假设f(x)在X上不是严格递增，即存在
上递增，
所以任给
，有
从而
所以
可证f(x)在X上严格递减。
与条件矛盾，故f(x)在区间X上严格递增，对于
，同理