高中数学人教A版必修4第一章《阅读与思考 三角学与天文学》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课
教案
【省级名师教案】
1教学目标
了解“三角学与天文学”的关系
2学情分析
这是阅读部分内容,目的是开拓学生知识面,提高学生学习数学的兴趣。
3重点难点
对历史的发展理解
4教学过程
4.1第一学时三角学与天文学
4.1.1新设计
三角学与天文学
早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学.希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品.测量天体之间的距离不是一件容易的事. 天文学家把需要测量的天体按远近不同分成好几个等级.离我们比较近的天体,它们离我们最远不超过100光年(1光年=9.46万亿1012公里),天文学家用三角视差法测量它们的距离.三角视差法是把被测的那个天体置于一个特大三角形的顶点,地球绕太阳公转的轨道直径的两端是这个三角形的另外二个顶点,通过测量地球到那个天体的视角,再用到已知的地球绕太阳公转轨道的直径,依靠三角公式就能推算出那个天体到我们的距离了.稍远一点的天体我们无法用三角视差法测量它和地球之间的距离,因为在地球上再也不能精确地测定它们的视差了. 〔河内天体的距离又称为视差,恒星对日地平均距离(a)的张角叫做恒星的三角视差(p),则较近的恒星的距离D可表示为:sinπ=a/D〕
若π很小,π以角秒表示,且单位取秒差距(pc),则有:D=1/π
用周年视差法测定恒星距离,有一定的局限性,因为恒星离我们愈远,π就愈小,实际观测中很难测定.三角视差是一切天体距离测量的基础,至今用这种方法测量了约10,000多颗恒星.因此从天文学中又衍生出了三角学,而三角学则为天文研究奠定了基础.
三角学起源于古希腊.为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要,古希腊人已研究球面三角形的边角关系,掌握了球面三角形两边之和大于第三边,球面三角形内角之和大于两个直角,等边对等角等定理.印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进,但主要是应用在天文学方面.15、16世纪三角学的研究转入平面三角,以达到测量上应用的目的.16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角.他出版了应用于三角形的数学定律的书.此后,平面三角从天文学中分离出来,成了一个独立的分支.平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程.
而三角学的发展历程又是十分漫长的.
最早,古希腊门纳劳斯(Menelaus of Alexandria)著《球面学》,提出了三角学的基础问题和基本概念,特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理;50年后,另一个古希腊学者托勒密(Ptolemy)著《天文学大成》,初步发展了三角学.而在公元499年,印度数学家阿耶波多(ryabhata I)也表述出古代印度的三角学思想;其后的瓦拉哈米希拉(Varahamihira)最早引入正弦概念,并给出最早的正弦表;公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学.当然,所有这些工作都是天文学研究的组成部分.直到纳西尔丁(Nasir ed-Din al Tusi,1201~1274)的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学,成为纯粹数学的一个独立分支.而在欧洲,最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(J?Regiomontanus,1436~1476).
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》.这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作.全书共5卷,前2卷论述平面三角学,后3卷讨论球面三角学,是欧洲传播三角学的源泉.雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表.
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础.他去世以后,其著作手稿在学者中广为传阅,并最终出版,对16世纪的数学家产生了相当大的影响,也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响.
最先使用三角学一词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯(B.Pitiscus,1561~1613),他在1595年出版的《三角学:解三角形的简明处理》中创造这个词.其构成法是由三角形(tuiangulum)和测量(metuicus)两字凑合而成.要测量计算离不开三角函数表和三角学公式,
它们是作为三角学的主要内容而发展的.
三角测量在中国也很早出现,公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明,例如它的首章记录“周公曰,大哉言数,请问用矩之道.商高曰,平矩以正绳,偃矩以望高,复矩以测深,卧矩以知远.”(商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺,商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度)1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章.
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯(G.J.Rhetucus,1514~1574).他1536年毕业于滕贝格(Wittenbery)大学,留校讲授算术和几何.1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学,1542年受聘为莱比锡大学数学教授.雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表,包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表.
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算,制作三角函数表已不再是很难的事,人们的注意力转向了三角学的理论研究.不过三角函数表的应用却一直占据重要地位,在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用.
三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式.三角函数的定义已体现了一定的关系,一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究.
文艺复兴后期,法国数学家韦达(F.Vieta)成为三角公式的集大成者.他的《应用于三角形的数学定律》(1579)是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一.其中第一部分列出6种三角函数表,有些以分和度为间隔.给出精确到5位和10位小数的三角函数值,还附有与三角值有关的乘法表、商表等.第二部分给出造表的方法,解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式.除汇总前人的成果外,还补充了自己发现的新公式.如正切定律、和差化积公式等等.他将这些公式列在一个总表中,使得任意给出某些已知量后,可以从表中得出未知量的值.该书以直角三角形为基础.对斜三角形,韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决.对球面直角三角形,给出计算的完整公式及其记忆法则,如余弦定理,1591年韦达又得到多倍角关系式,1593年又用三角方法推导出余弦定理.
1722年英国数学家棣莫弗(A.De Meiver)得到以他的名字命名的三角学定理 ?(cosθ±isinθ)n=cosnθ+isinnθ,
并证明了n是正有理数时公式成立;1748年欧拉(L.Euler)证明了n是任意实数时公式也成立,他还给出另一个著名公式 ?eiθ=cosθ+isinθ,
对三角学的发展起到了重要的推动作用.