1.3 弧度制
课堂导学
三点剖析
1.角度与弧度之间的换算
【例1】 化下列角度为弧度制：（1）540°;(2)112°30′;(3)36°. 思路分析：
?rad就可将角度化为弧度. 180?解:(1)∵1°= rad,
180根据1°=
∴540°=3π rad.
? rad, 180?5?∴112°30′=×112.5 rad= rad.
1808?(3)∵1°= rad,
180??∴36°=×36 rad=.
1805(2)∵1°=
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(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数. 各个击破 类题演练 1
把130°,-270°化为弧度为________，____________-. 解析：∵1°=∴130°=
? rad, 180?13×130 rad×π rad 18018?3?-270°=-×270 rad=? rad. 1802133?答案：π ?
182变式提升 1
(1)将-225°化为弧度；（2）将?解：（1）∵1°=
5? rad化为度. 12??5? rad,∴-225°=-×225 rad=? rad.
1801804180(2)∵1 rad=()°,
?5?5?180?∴? rad=-()°=-75°.
1212?2.弧度的综合应用
【例2】 集合M={x|x=
k??k??+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则有（ ） 2442A.M=N B.MN
C.MN D.M∩N=?
思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.
解：对集合M中的整数k依次取0,1,2,3, 得角
?3?5?7?. ,,,4444于是集合M中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示. 同理，集合N中的角与0,所示.
5??3??7?,,,π,π,3,,2π角的终边相同，如图（2）
442424
故MN.∴选C.
答案：C 类题演练 2
已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同,求此角的大小. 解析：设这个角是α,则0≤α＜2π. ∵5α与α终边相同, ∴5α=α+2kπ(k∈Z), ∴α=
k?(k∈Z). 2又∵α∈［0,2π), 令k=0,1,2,3. 得α=0,
3?,π,π.即为所求值.
22变式提升 2
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
解析：（1）在0到2π之间，终边落在OA位置上的角是
?+ 2?4
?3?3??11?,终边落在OB位置上的角是+=, 42362
3?,k∈Z}, 411?终边落在OB上的角的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.
6?3(2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2kπ-≤α≤2kπ+?,k∈Z}.
64故终边落在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+
【例3】 一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦与劣弧所组成
的弓形的面积.
思路分析:由已知可知圆心角的大小为
?，然后用弧长和扇形面积公式求解即可.注意弓形3面积等于扇形面积减去对应的三角形面积.
解:(1)如右图，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=弦AB所对的劣弧长为
?.则3?r. 3(2)∵S△AOB=
321OA·OB·sin∠AOB=r，
42S扇形OAB=
1?212?2
|α|r=××r=r， 223632?232?r-r=(-)r.
4664∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=
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图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题. 类题演练 3 求解：
2
（1）已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm,求扇形圆心角的弧度数. (2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积.
解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π),弧长为l,半径为r,
?l?2r?10,(1)?依题意有?1
lr?4.(2)??2①代入②得r-5r+4=0,
解之得r1=1,r2=4.
当r=1时，l=8(cm),此时，θ=8 rad＞2π rad舍去. 当r=4时，l=2(cm),此时，θ=
2
21? rad. 423