重点中学入学模拟试题一
1.著名的数学家斯蒂芬?巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数).则他出生的年份是 _____ ，他去世时的年龄是 ______ . 【答案】1892年;53岁。
【解】首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，有1936＝44，1849＝43，显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬?巴纳赫在1936年为44岁．
那么他出生的年份为1936－44＝1892年． 他去世的年龄为1945－1892＝53岁．
【提示】要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份－年龄＝出生年份。
2.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 ___ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同. 【答案】46
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C1【解】十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有0＝45种不同的报名方法．
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那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．
3.如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π=3.14） 【答案】565.2立方厘米
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【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：
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S=3×6×10×π-2×3×3×5×π=90π，
2S=180π=565.2（立方厘米）
【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。
4．如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是。
【答案】5
【解】由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x。
对10500做质因数分解： 10500=2×3×5×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=5×2,AC×BC×CD=2×3×7, 所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.
5．甲乙两地相距60公里，自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地.摩托车比自行车早到4小时，已知摩托车的速度是自行车的3倍，则摩托车的速度是 ______ . 【答案】30公里/小时
【解】记摩托车到达乙地所需时间为“1”，则自行车所需时间为“3”，有4小时对应“3”－“1”＝“2”，所以摩托车到乙地所需时间为4÷2＝2小时．摩托车的速度为60÷2＝30公里/小时． 【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想。
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6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去时每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了 _____ 公里. 【答案】576
【解】记去时时间为“1.5”，那么回来的时间为“1”．
所以回来时间为20÷(1.5+1)＝8小时，则去时时间为1.5×8＝12小时． 根据反比关系，往返时间比为1.5︰1＝3︰2,则往返速度为2：3, 按比例分配，知道去的速度为12÷（3-2）×2＝24（千米） 所以往返路程为24×12×2＝576（千米）。
7. 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和.已知前两个数是0和1，则最后一个数除以6的余数是 ______ . 【答案】4
【解】显然我们只关系除以6的余数，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……
有从第1数开始，每12个数对于6的余数一循环， 因为70÷12＝5……10，
所以第70个数除以6的余数为循环中的第10个数，即4． 【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。
8.老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是。 【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是2×3×5×7×11×13=60060。
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