高考总复习：复数
【考纲要求】
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i:
2（1）它的平方等于?1，即i??1；
22（2）i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x??1的一个根，方程x??1的另一个根是?i；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i的周期性：i2. 概念
形如a?bi（a,b?R）的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 说明：这里a,b?R容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集
1
4n?1，i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i（n?N*）.
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示；复数集与其它数集之间的关系：N4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z?a?bi（a,b?R），
当且仅当b?0时，复数z?a?bi?a是实数； 当且仅当b?0时，复数z?a?bi叫做虚数；
当且仅当a?0且b?0时，复数z?a?bi?bi叫做纯虚数； 当且仅当a?b?0时，复数z?a?bi?0就是实数0. 所以复数的分类如下:
ZQRC
?实数(b?0)；?虚数(b?0)?当a?0且b?0时为纯虚数 a,b?R?b z?a（i）??5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果a,b,c,d?R，那么a?bi?c?di?a?c且b?d. 特别地: a?bi?0?a?b?0.
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数z?a?bi和z?a?bi?a?bi（a,b?R）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式:
复数通常用字母z表示，即a?bi（a,b?R），把复数表示成a?bi的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i； (a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i；
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad???2?2i22c?di(c?di)(c?di)c?dc?d复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。
考点三：复数的几何意义
2
1. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z?a?bi（a,b?R）可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z?0?0i?0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi????一一对应这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个
复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点Z(a,b)表示复数z?a?bi（a,b?R）；
（2）向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示复数z?a?bi.
22|a?bi||z|?|OZ|?a?b?0. OZz?a?bi向量的长度叫做复数的模，记作.即
要点诠释:
（1）向量OZ与点Z(a,b)以及复数z?a?bi有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义： 如果复数
z1、
z2分别对应于向量
OP12，1、OP2为两边作平行四边形OPSP1、OP2，那么以OP对角线OS表示的向量OS就是
z1?z2的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义： 两个复数的差
z1?z2与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
要点诠释:
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行； 2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。 【典型例题】
类型一：复数的有关概念
22z?lg(m?2m?2)?(m?3m?2)i，试求实数m取何值时，复数z分别满足： 【例1】设复数
(1)z是纯虚数； (2)z对应的点位于复平面的第二象限。
【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。
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