2018年中国研究生数学建模竞赛B题
光传送网建模与价值评估
1. 背景
2009年诺贝尔物理学奖授予了英籍华人高锟（Charles K. Kao）博士，以表彰他对光纤通信发展所做出的贡献，诺贝尔奖委员会在给公众的公开信中写到：
“当诺贝尔物理学奖宣布的时候，世界大部分地方几乎瞬间收到了这条信息…文字、语音和视频信号沿着光纤在世界各地来回传输，几乎瞬时地被微小而便捷的设备接收，人们已经把这种情况当做习惯。光纤通信正是整个通信领域急速发展的前提。”
从诞生至今，50多年里基于数字光纤通信技术的光传送网构建起了全球通信的骨架。从城市内的传输，直到跨越大洋的传输，光传送网为人类提供了大容量、高可靠性和低能耗的信息传输管道，人类对通信容量的追求也成为光传送技术发展的源源不断的动力。
光传送网的规划与建设是运营商、设备商以及政府必须考虑的课题。光传送的基本规律是——在相同技术条件下传输的容量会随着传输距离增加而减小。网络规划者需要在有限资源的条件下，综合考虑传输距离，传输容量、网络拓扑等各种因素，以最大化网络的价值。本课题中，请你们站在上述角度，从底层物理出发为光传送链路建模，制定光传送网规划，探索光传送网有关规律。
本课题的内容包括： 1) 对光传送链路进行简单建模
2) 制定光传送网的规划，并探讨网络的价值 3）改进调制格式
2. 问题-1：光传送链路建模
现代数字传输系统可认为是对0101二进制序列进行编码传输的系统，1个二进制的0或1称为1个比特（bit）。无论是语音、视频还是任何类型的消息，都可以数字化为一串串”0101…”的二进制比特序列，经编码并调制为某个“载体信号”后，再经过特定的“信道”（信息的通道）传输到目的地。图1中给出了简化的模型。在光纤通信中，光纤就是信道，光纤传输的光波就是信息的载体。信道中无法避免的噪声可能导致最终接收的二进制序列中比特出错，即产生误码。
发送序列0101010...发射机编码调制信号接收信号噪声接收机解调制接收序列0101110...
图1 简化后的数字传输模型
二进制序列通常需要将K个比特作为一个“符号”进行传输，每个符号有2K个不同状态。光传输利用光波的复振幅承载信号，因此可用复平面上不同的点来对应不同的符号状态，
这种将符号状态画在复平面上的图称为“星座图”，图上的点称为“星座点”。如图2(a)所示的QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）调制，经过信道叠加噪声和接收机处理后，接收端的星座图不再是理想的四个点，而是会出现扩散。当接收机收到1个符号时，就将发送的符号判定为离该符号最近的星座点。显然，如果噪声过大，接收到的符号可能被判错从而产生误码，如图2(b)中的蓝点。误码率（Bit Error Ratio, BER）定义为错误的比特数占总传输比特数的比例，例如传输了50个符号共100个比特，其中有1个符号被误判为相邻的符号，错误了1个bit，则误码率为0.01。BER是衡量通信系统性能的最根本指标，采用纠错编码，只要纠前BER小于某个门限值（BER容限点），纠错编码后就能实现纠后误码率为零的传输，本题中BER都是指纠错编码前的误码率（纠前BER）。
Q0001I101100噪声Q01I10(b)11
(a)图2 星座图与噪声导致误码的示意图
QrknkskI
图3 信号和噪声的相关定义示意图
图3中理想星座点用????表示，接收到的符号用????表示，则噪声为
????=?????????(1)
噪声通常服从均值为0的正态分布。噪声的方差等于噪声的平均功率，定义为
??
????=?? ????=?? ???? (2)其中N为总共传输的符号数。信
??
号平均功率定义为发送符号绝对值平方的均值：
??????=?? ????=?? ???? (3)
??
定义信号和噪声功率的比值为信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），
??????=??s/??n (4)
工程上通常用dB作为SNR的单位，定义为
?????? dB =10??????10(??s/??n)(5)
增大十倍为加10dB，减小0.5倍为减去3dB。本题中功率单位统一为毫瓦（mW），星座图实部和虚部单位为 ????。
光传输链路由多个相同跨段的级联而成。如图4所示，几十km的光纤和一个放大器构成了1个跨段。信号每传输15km，光功率衰减一半，经过一段光纤传输后，需要用放大器对光功率进行补偿。在信号、噪声同步放大的同时，放大器还引入自发辐射噪声,公式为????=??????????(????+??/????????)，其中是??是普朗克常数（6.62606896×10?34J?S），??是光波频率（可定为193.1THz），B为带宽（设为50GHz），NF为噪声指数（可设为4），Gain为补偿光纤衰减所对应的功率增益。另一方面，光纤作为一种传输介质，其本身的非线性效应也会等效地引入噪声。其等效噪声功率与入纤功率近似呈平方关系，光纤功率为1mW时的非线性噪声约等于单个放大器噪声的2/3。放大器的自发辐射噪声和光纤的非线性噪声都是加性噪声。非线性噪声在每跨开头叠加，放大器噪声在每跨末尾叠加；每跨中间信噪比保持不变。每跨叠加的噪声间相互独立。
发射机光纤一跨...放大器光纤放大器接收机 图4 基本的光传输链路模型
子问题-1）纠前误码率与信噪比计算
星座图的编码分布模式也称为调制格式，对于给定的调制格式，BER和SNR呈一一对应的关系，纠前BER门限对应的SNR记做“SNR容限点”。给出图5中所示的三种调制格式及编码方式（相邻星座点距离相等），每个符号等概率出现，分别称为QPSK，8QAM (Quadrature Amplitude Modulation, QAM)，16QAM。请给出BER与SNR的关系曲线，BER=0.02时SNR容限点分别为多少？
QQ11100001000011111001000110110110011Q0111111101011101I010011I1000000001001100I00011101010001001101110QPSK8QAM16QAM
图5 三种调制格式的编码方案
子问题-2）光链路性能计算
当单跨传输距离为80km和100km两种情况，以纠前误码率0.02为门限，图5给出的