第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 设D(x)为退化分布: D(x)=??1,x?0
?0,x?0,11)}; (3){D(x-)},其中n=1,2,?。 nn讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数? (1){D(x+n)}; (2){D(x+
解:(1)(2)不是;(3)是。
4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义:
x??n?0, ?x?n?Fn(x)=?, ?n?x?n
2n? x?n??1, 问F(x)=limFn(x)是分布函数吗?
n??解:不是。
4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x),且F(x)为连续函数,则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于F(x)。
证:对任意的ε>0,取M充分大,使有
1-F(x)<ε,?x?M; F(x)<ε, ?x?M;
对上述取定的M,因为F(x)在[-M,M]上一致连续,故可取它的k分点:x1=M F(xi?1)?F(xi)?ε,0?i 这时存在N,使得当n>N时有 Fn(xi)?F(xi)?ε,0?i?k+1 (2) 成立,对任意的x?(??,?),必存在某个i(0?i?k),使得x?(xi,xi?1],由(2)知当n>N时有 Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?ε, (3) Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?ε, (4) 有(1),(3),(4)可得 Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)?ε?F(xi?1)?F(xi)+ε<2ε, Fn(x)?F(x)>F(xi)?F(x)?ε?F(xi)?F(xi?1)????2ε, 即有Fn(x)?F(x)?2ε成立,结论得证。 4.4 设Fn(x)是只取非负整数值的离散型随机变量,又{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)也是只取非负整数值的离散型随机变量的分布函数。 证:只要证明对任意的非负整数k,若x1,x2?(k,k+1),必有F(x1)=F(x2)成立即可。设 k?x1?x2?k?1,总能够找到x3,x4,使有k?x3?x1?x2?x4?k?1,且x3,x4是 F(x)的连续点。这时limFn(xi)=F(xi)(i=3,4)成立,已知Fn(x)仅在非负整数点上有跳跃, n??所以对任意的n有Fn(x3)=Fn(x4),从而F(x?)=limFn(x3)=limFn(x4)=F(x4),由此 n?? n??知F(x1)?F(x2),结论得证。 4.5 设随机变量序列{ξ}同时依概率收敛于随机变量ξ与η,证明这时必有P(ξ=η)=1。 证:对任意的ε>0有(????ε?[?-?n?ε??n???)],故 22εε0?P(????ε)?P(?-?n?)?P(?n-??)?0,n?0 22?即对任意的ε>0有P(????ε)=0成立,于是有 ?11P(???)?P[?(????)]??P(????)?0, k?1kkk?1?从而P(???)?1成立,结论得证。 4.6 设随机变量序列{?n},{?n}分别依概率收敛于随机变量ξ与η,证明: ??ξ+η;(2) ?n??n???ξ?η。 (1)?n??n?证:(1)因为(?????n??n??)?[(???n?PP?)?(???n?)],故 22?0?P(?????n??n??)?P(???n?)?P(???n?)?0,n?? 22????ξ+η成立。 即?n??n?P2(2)先证明这时必有?n????2。对任给的??0,??0,取M足够大 P(?M?1),使有P(??M?1)??成立,对取定的M,存在N,当n>N时有2P(?n???1)?P(?n??? ?M)??