加法原理和乘法原理

计数加法与乘法原理

1.问题一

(1-1)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?

2 分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有n类办法,在第

一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

N?m1?m2??mn

种不同的方法

3.问题二

(2-1)从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

(2-2)如图,由A村去B村的道路有2条,由B村去C村的道路有3条从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?

A村

B村

C村 第 1页(共4页)

4.分步计数原理(乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有 N?m1?m2??mn

种不同的方法

5.原理浅释

分类计数原理(加法原理)中,“完成一件事,有n类办法”,是说每种办法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件事,同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.

分步计数原理(乘法原理)中,“完成一件事,需要分成n个步骤”,是说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤,彼此间也不能有重复和遗漏. 如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.

可以看出“分”是它们共同的特征,但是,分法却大不相同. 两个原理的公式是: N?m1?m2??mn, N?m1?m2??mn

这种变形还提醒人们,分类和分步,常是在一定的限制之下人为的,因此,在这里我们大有用武之地:可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步.

强调知识的综合是近年的一种可取的现象.两个原理,可以与物理中电路的串联、并联类比.

两个基本原理的作用:计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 两个基本原理的区别:一个与分类有关,一个与分步有关;加法原理是“分类完成”,乘法原理是“分步完成”

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三、讲解范例:

例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书,

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?

例2.一种号码拨号锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?

例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?

例4.甲厂生产的收音机外壳形状有3种,颜色有4种,乙厂生产的收音机外壳形状有4种,颜色有5种,这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看,共有所少种不同的品种?

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