量检验数?j?0，所以原线性规划问题无可行解。 1.5 考虑下述线性规划问题：
maxz?c1x1?c2x2
?a11x1?a12x2?b1?s.t.?a21x1?a22x2?b2
? x,x?012?式中，1?c1?3,4?c2?6,?1?a11?3,2?a12?5,8?b1?12,2?a21?4,4?a22?6,10?b2?14，试确定目标函数最优值的下界和上界。解：（1）上界对应的模型如下（c，b取大，a取小）
maxz?3x1?6x2??1x1?2x2?12 s.t.?2x?4x?14
?12?x,x?0?12 最优值（上界）为：21；
（2）下界对应的模型如下（c，b取小，a取大）
maxz?x1?4x2?3x1?5x2?8 s.t.?4x?6x?10
?12?x,x?0?12 最优值（下界）为：6.4。
1.7 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法迭代后得到表1-21，试求括弧中未知数a?l的值。
表 1-21 项目 x1 x2 x3 x4 x5x4 6 (b) (c) (d) 1 0 x5 1 -1 3 (e) 0 1cj -zj (a) -1 2 0 0x1 (f) (g) 2 -1 1/2 0x5 4 (h) (i) 1 1/2 1cj -zj 0 -7 (j) (k) (l)
解：a b c d e f g h i j k l3 2 4 -2 2 3 1 0 5 -5 -3/2 01.8 若X⑴,X(2)均为某线性规划问题的最优解，证明在这两点连线上的所有点也是该问题的最优解。
证明：设X(1)和X(2)满足：maxz?CTX?AX?b ??X?0 对于任何0?a?1，两点连线上的点 X满足：X?aX(1)?(1?a)X(2)也是可行解，且 CTX?CTaX(1)?CT(1?a)X(2) ?CTaX(1)?aCTX(2)?CTX(2) ?CTX(2) 所以X也是最优解。 1.9 考虑线性规划问题
maxz??x1?2x2?x3?4x4? x1?x2 ?x4?4?2? (i)? s.t.?2x1?x2?3x3?2x4?5?7? (ii)
?x,x,x,x?0?1234模型中?，?为参数，要求：
⑴ 组成两个新的约束(i)'=(i)+(ii),(ii)'=(ii)-2(i)，根据式(i)'和式(ii)'，以
x1,x2为基变量，列出初始单纯形表；
(i) x1?x3?x4?3?2?解：
(ii) x2?x3?1??Cj→ CB 基 b α x1 3+2β2 x2 1-βcj-zj
α 2 1 -4 x1 x2 x3 x4 1 0 1 -10 1 -1 00 0 3-α α-4
⑵ 在表中，假定?=0 ，则? 为何值时，x1,x2为问题的最优基； 解：如果?=0，则当3???4时，x1,x2为问题的最优基变量。 ⑶ 在表中，假定?=3 ，则? 为何值时，x1,x2为问题的最优基。 解：如果?=3，则当-1???1时，x1,x2为问题的最优基变量。 1.10 试述线性规划模型中“线性”二字的含义，并用实例说明什么情况下线性的假设将被违背。
答：线性的含义：一是严格的比例性，如生产某产品对资源的消耗量和可获取的利润，同其生产数量严格成比例；二是可叠加性，如生产多种产品时，可获取的总利润使各项产品的利润之和，对某项资源的消耗量应等于各产品对该资源的消耗量之和；三是可分性，即模型中的变量可以取值为小数、分数或某一实数；四是确定性，指模型中的参数cj,aij,bi 均为确定的常数。
很多实际问题往往不符合上述条件，例如每件产品售价3元，但成批购买就可以得到折扣优惠。
1.11 判断下列说法是否正确，为什么？
m ⑴ 含n个变量m个约束的标准型的线性规划问题，基解数恰好为Cn个；
m?C 答：错误。基本解的个数=基的个数n
⑵ 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定为基可行解；
答：错误。当有唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；当
有无穷多最优解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是基本可行解。
⑶ 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点；
答：错误。如果约束条件中有一个约束所对应的区域不包含坐标的原点，则即使有可行域，也不包含坐标的原点。
⑷ 单纯形法迭代计算中，必须选取同最大检验数?j?0对应的变量作为换入基的变量。
答：错误。若此时最大检验数?j?0，可是pj?0 ，则问题是无界解，计算结束。
?1.12 线性规划问题maxz?CX,AX?b,X?0,如X是该问题的最优解，又??0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。 ⑴ 目标函数变为maxz??CX；
⑵ 目标函数变为maxz?(C??)X； ⑶ 目标函数变为maxz?CX，约束条件变为AX??b 。 ?解：⑴ 最优解不变；
⑵ C为常数时最优解不变，否则可能发生变化； ⑶ 最优解变为：X/λ。
1.13 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1-22所示。
表 1-22饲料蛋白质/g321618矿物质/g10.50.220.5维生素/mg价格/(元/kg)0.51.00.220.80.20.70.40.30.81 2345
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。