2014离散数学作业3答案

离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书

姓 名: 翟伟铮 学 号: 得 分: 教师签名: 面作

本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业,大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第11周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,完成并上交任课教师。

一、填空题

1.设集合A?{1,2,3},B?{1,2},则

P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}},A?

B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} .

2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 .

3.设集合A={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4, 5},R是A到B的二元关系, 则R的有序对集合为 {<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} .

4.设集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12}, A到B的二元关系

R={?x,y?y?2x,x?A,y?B} 那么R-1={<6,3>,<8,4>}

5.设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , , },则R具有的性质是 没有任何性质 .

6.设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , , },若在R中再增加两个元素 {,} ,则新得到的关系就具有对称性.

7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有 2 个.

8.设A={1, 2}上的二元关系为R={|x?A,y?A, x+y =10},则R的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>} .

9.设R是集合A上的等价关系,且1 , 2 , 3是A中的元素,则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素.

10.设集合A={1, 2},B={a, b},那么集合A到B的双射函数是 {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>} .

二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)

1.若集合A = {1,2,3}上的二元关系R={<1, 1>,<2, 2>,<1, 2>},则 (1) R是自反的关系; (2) R是对称的关系. 解:(1)错误。R不具有自反的关系,因为<3,3>不属于R。

(2)错误。R不具有对称的关系,因为<2,1>不属于R。

2.如果R1和R2是A上的自反关系,判断结论:“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立?并说明理由. 解:成立。

因为R1和 R2是A上的自反关系,即IA?R1,IA?R2。 由逆关系定义和IA?R1,得IA? R1-1;

由IA?R1,IA?R2,得IA? R1∪R2,IA? R1?R2。

所以,R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的。 a ? 3.若偏序集的哈斯图如图一所示,

b c g 则集合A的最大元为a,最小元不存在. ? ? ?

解:错误。

集合A的最大元不存在,a是极大元。 d ? ? h f是否构成 4.设集合A={1, 2, 3, 4},B={2, 4, 6, 8},,判断下列关系? ? f e 函数f:A?B,并说明理由.

图一 (1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}; (2)f={<1, 6>, <3, 4>,

<2, 2>};

(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}.

解:(1)不构成函数。因为对于3属于A,在B中没有元素与之对应。

(2)不构成函数。因为对于4属于A,在B中没有元素与之对应。 (3)构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。 三、计算题

1.设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4},求:

(1) (A?B)?~C; (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)-P(C); (4) A?B. 解:(1)(A?B)?~C={1}?{1,3,5}?{1,3,5}

(2)(A?B)- (B?A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

(3)P(A)?P(C)?{?,{1},{4},{1,4}}?{?,{2},{4},{2,4}}?{{1},{1,4}} (4)A?B =(A?B)-(A?B)={1,2,4,5}?{1}?{2,4,5} 2.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算

(1)(A?B); (2)(A∩B); (3)A×B. 解:(1)A?B ={{1},{2}}

(2)A∩B ={1,2}

(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}

3.设A={1,2,3,4,5},R={|x?A,y?A且x+y?4},S={|x?A,

y?A且x+y<0},试求R,S,R?S,S?R,R-1,S-1,r(S),s(R).

解:R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

S=空集

R?S=空集 S?R=空集

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1 =空集

r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4.设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R是A上的整除关系,B={2, 4, 6}. (1) 写出关系R的表示式; (2 )画出关系R的哈斯图; (3) 求出集合B的最大元、最小元.

(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>} (3)集合B没有最大元,最小元是2

四、证明题

1.试证明集合等式:A? (B?C)=(A?B) ? (A?C). 证明:设,若x∈A? (B?C),则x∈A或x∈B?C,

即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C. 即x∈A?B 且 x∈A?C , 即 x∈T=(A?B) ? (A?C),

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C).

反之,若x∈(A?B) ? (A?C),则x∈A?B 且 x∈A?C, 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C,

即x∈A或x∈B?C, 即x∈A? (B?C),

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C). 因此.A? (B?C)=(A?B) ? (A?C).

2.试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C).

证明:设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C), 若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C,

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ,即 x∈T,所以S?T. 反之,若x∈T,则x∈A∩B 或 x∈A∩C,

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4