基本不等式（第一课时）
一、教学目标
1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab?a?b的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法2与策略．
以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．
二、教学重点和难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab?难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程： 1．动手操作，几何引入
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角角形两条直角边长为a,b，
那么正方形的边长为a2?b2．于是， 4个直角三角形的面积之和S1?2ab， 正方形的面积S2?a2?b2． 由图可知S2?S1，即a2?b2?2ab．
1
a?b 的证明过程； 2是根据我国古早、最简洁的证的．
形．设直角三
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（a?b），考察两形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
通过学生动手操作，探索发现：ab?2．代数证明，得出结论
根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若a,b?R?，则a?b?2ab． 若a,b?R?，则ab?22三角形，再用
b
a 直角边，多余个直角三角
a?b 2a?b． 2学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：
（1）若a,b?R?，则a2?b2?2ab；（2）若a,b?R?，则ab?请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）： a2?b2?2ab?(a?b)2?0
?a2?b2?2ab，当a?b时取等号．
a?b 2（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于a,b?R?，于是 要证明
a?b?ab， 2只要证明 a?b?2ab， 即证 a?b?2ab?0，
即 (a?b)2?0，该式显然成立，所以得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若a,b?R?，则ab?a?b?ab，当a?b时取等号． 2a?b（当且仅当a?b时，等号成立） 2若a,b?R，则a2?b2?2ab（当且仅当a?b时，等号成立）
2
深化认识：
称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式ab?a?b为a,b的算术平均数 2a?b又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC?a，BC?b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．
根据射影定理可得：CD?AC?BC?ab 由于Rt?COD中直角边CD?斜边OD， 于是有ab?D B E A
O C a?b 2当且仅当点C与圆心O重合时，即a?b时等号成立． 故而再次证明： 当a?0,b?0时，ab?a?b（当且仅当a?b时，等号成立） 2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于x,y?R?，
（1）若xy?p（定值），则当且仅当a?b时，x?y有最小值2p； s2（2）若x?y?s（定值），则当且仅当a?b时，xy有最大值．
4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
例2.求y?x?1(x?0)的值域． x1的最小值． x?23
变式1. 若x?2，求x?