第十二章全等三角形小结导学案
一、学习目标:
1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理,以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识,建立知识系统;
2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法,使学生掌握分析问题的方法,提升解题能力。 二、学习重点、难点:
学习重点:将所学知识科学地组织起来,将其纳入已有的知识结构中。 学习难点:提升分析问题、解决问题的能力。 三、本章知识结构图: 。
四、回顾与思考:
1、请你举一些生活中的全等形。 2、 全等三角形的概念及性质; 3、 三角形全等的判定; 4、 角平分线的性质及判定
5、你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗?
知识点一:证明三角形全等的思路
通过对问题的分析,将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,可以按下图思路进行分析:
??找夹角?SAS???已知两边?找第三边?SSS?找直角?HL?????边为角的对边?找任一角?AAS???找夹角的另一边?SAS?? 已知一边一角???边为角的邻边找夹边的另一角?ASA????找边的对角?AAS???????找夹边?ASA?已知两角???找任一对边?AAS??切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图,A,F,E,B四点共线,AC?CE,BD?DF,AE?BF,AC?BD。求证:?ACF??BDE。
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思路分析:从结论?ACF??BDE入手,全等条件只有AC?BD;由AE?BF两边同时减去EF得到
AF?BE,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是CF?DE,也可以是?A??B。
知识点二:构造全等三角形
例2. 如图,在?ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD?BE,垂足为D。求证:?2??1??C。
思路分析:直接证明?2??1??C比较困难,我们可以间接证明,即找到??,证明?2???且????1??C。也可以看成将?2“转移”到??。
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例3. 如图,在?ABC中,AB?BC,?ABC?90。F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE?BF,连接AE,EF和CF。求证:AE?CF。
思路分析:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的?ABE绕点B顺时针旋转90到?CBF的位置,而线段CF正好是?CBF的边,故只要证明它们全等即可。
知识点三:常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线
解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识
例5. 如图,AP,CP分别是?ABC外角?MAC和?NCA的平分线,它们交于点P。求证:BP为?MBN的平分线。
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思路分析:要证明“BP为?MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是?MAC和?NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。
例6. 如图,D是?ABC的边BC上的点,且CD?AB,?ADB??BAD,AE是?ABD的中线。求证:AC?2AE。
思路分析:要证明“AC?2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。因此,延长AE至F,使EF?AE。
解题后的思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。
4. “截长补短”构造全等三角形
例7. 如图,在?ABC中,AB?AC,?1??2,P为AD上任意一点。求证:AB?AC?PB?PC。
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