第四篇 三角函数与解三角形 专题4.01 角与弧度制、三角函数的概念
【考试要求】
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性； 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【知识梳理】 1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 y
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
x(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
l|α|＝(弧长用l表示) r1°＝180?π rad；1 rad＝? ?π?°180弧长l＝|α|r 11S＝lr＝|α|r2 22
【微点提醒】
π
0，?，则tan α>α>sin α. 1.若α∈??2?2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合
1
4.轴线角的集合
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× π
0，?. 【解析】 (1)锐角的取值范围是??2?(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 【教材衍化】
4
2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为( )
51A.－
2【答案】 A
【解析】 由题意得m<0且
41＝－，解得m＝－.
52
(8m)2＋328m
1B. 2
C.－3 2
D.3 2
3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 【答案】 {－675°，－315°}
【解析】 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
2
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. 【真题体验】
tan θ4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是( )
sin θA.第一象限角 C.第三象限角 【答案】 D
tan θ1
【解析】 由>0，得>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.
sin θcos θ5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________. 【答案】
3
B.第二象限角 D.第四象限角
【解析】 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3. 6.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________. 【答案】 －1
【解析】 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的y－x
定义得tan α＝＝＝－1.
xx
【考点聚焦】
考点一 角的概念及其集合表示
α
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是( )
2A.第一象限角
B.第二象限角 D.第二或第四象限角
C.第一或第三象限角
(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 2π4??5
【答案】 (1)C (2)?－3π，－3π，3，3π?
?
?
π
【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
2παπ
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 422
3