练习
(2015－2016江岸区七上期末)如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°，线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是________.
AMEFNOB
【答案】119° 总结归纳
角度与线段的题本质上是相同的，只是线段是对一维直线的研究，角度是对二维平面的研究，二者联系紧密.不难看出，线段和角度的题型很大程度上是类似的，分类讨论的情况也类似，因此，对于角的旋转问题，可以类比线段动点问题的解法.
若不涉及旋转速度，则题目主要考查角的分类讨论和设元导角，如本讲例4例5，以及上一讲的“四象限讨论法”也可以看作射线在旋转；
若涉及旋转速度，则可类比“数轴动点问题”的解法，如本讲例6例7，只不过旋转的射线带来的是角度大小的变化，不再是线段长度的变化。同学们可以对比、体会线段动点与角的旋转之间的异同.
题型二 涉及速度的角的旋转
例6(2014－2015汉阳区七上期末)如图1，O为直线AB上一点，过O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板(∠M＝30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. ①如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值； ②此时ON是否平分∠AOC?请说明理由.
(2)在(1)的条件下，若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由；
(3)在(2)的条件下，从旋转开始经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由.
MMCCCNA图1OBA图2OBAN图3OBM
【答案】
（1）①∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC－∠CON＝30°－15°＝15°， 解得：t＝15°÷3°＝5秒；
②是，理由如下：∵∠CON＝15°，∠AON＝15°，∴ON平分∠AOC；
（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠CON＝∠COM， ∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠COM＝45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，∵∠AOC－∠AON＝45°， 可得：6t－3t＝15°，解得：t＝5秒； （3）OC平分∠MOB
∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
1
设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，∴∠COM为(90°－3t)，∵∠BOM＋∠AON＝90°，
21
可得：180°－（30°＋6t）＝(90°－3t)，解得：t＝23.3秒；
2
例7(2012－2013青山区七上期末)如图1，已知∠AOC＝m°，∠BOC＝n°且m、n满足等式|3m－420|＋(2n－40)2＝0，射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转(到OA停止). (1)试求∠AOB的度数；
(2)如图1，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ＝10°?
(3)如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处(OE在∠∠COE4
DOC的内部)时，且＝.试求x.
∠DOE＋∠BOC5
DAO图1CABO图2ECB
【答案】（1）160°；（2）30秒或34秒；（3）2
（1）∵|3m－420|＋（2n－40）2＝0，∴3m－420＝0且2n－40＝0， ∴m＝140，n＝20，∴∠AOC＝140°，∠BOC＝20°， ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝160°；
（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ＝10°．则∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°． ①当射线OP与射线OQ相遇前有：∠AOQ＋∠BOP＋∠POQ＝∠AOB＝160°， 即：x＋4x＋10＝160，解得：x＝30；
②当射线OP与射线OQ相遇后有：∠AOQ＋∠BOP－∠POQ＝∠AOB＝160°， 即：x＋4x－10＝160，解得：x＝34．
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得∠POQ＝10°；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE＝4t°． 1
∵OD为∠AOC的平分线，∴∠COD＝∠AOC＝70°，
2
∴∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝70°＋20°＝90°．∵∠COE：(∠DOE＋∠BOC)＝4:5, 4
∴∠COE＝×90°＝40°，∠DOE＝30°，∠BOE＝20°＋40°＝60°
9
即：4t＝60，∴t＝15，∴∠DOE＝15x°，即：15x＝30,解得 x＝2． 挑战压轴题
(2015－2016江岸区七上期末)已知：如图1，∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重台，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β. ⑴如图2，若α＝90°，β＝30°，则∠MON＝______；
(2)如图3，若∠COD绕O逆时针旋转，且∠BOD＝γ，求∠MON；
(3)如图4，若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒，(转到OC与OA共线时停止运动)，且OE平分∠BOD，以下两个结论：①值：②∠AOD－∠COE为定值.请选择正确的结论，并说明理由.
CNB(D)MO图1AO图2CNB(D)MCDNMBCA图4DEB∠COE
为定
∠AOD
AO图3AO
【答案】
11
⑴∵OM是∠AOD的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MON＝α＋β＝60°，
221111
⑵设∠BOD＝γ，∴∠MOD＝∠AOD＝(α＋γ), ∠BON＝∠COB＝(β＋γ),
2222111
∴∠MON＝∠MOD＋∠BON－∠BOD＝(α＋γ)＋(β＋γ)－γ＝(α＋β).
222∠COE1
⑶①为定值.
2∠AOD
1
设运动时间为t秒，则∠DOB＝3t－t＝2t,∠DOE＝∠DOB＝t.
2
∴∠COE＝β＋t, ∠AOD＝α＋2t,
又∵α＝2β，∴∠AOD＝2β＋2t＝2(β＋t)
第12讲 线角综合压轴
A基础巩固
1.(2016－2017青山区七上期末压轴题改编)如图，点B在线段AC上，且AB＝a，BC＝b，已知a、b满足(b－2)2＋|ab－10|＝0.
(1)则AB＝_______，BC＝________；
(2)直线AC上有一动点D在A点右侧运动，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
(3)若点A、B、C均在直线AC上运动，其中点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动.请问：是否存在一个常数m使得mAB－2BC不随运动时间t的改变而改变.若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由.