正余弦定理在解决三角形问题中的应用
典型例题分析： 一、判定三角形的形状
例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状： (1)若atanB=btanA； 解：由已知及正弦定理得
(2RsinA)
2
2
2
sinBsinA2
= (2RsinB) ? cosBcosA2sinAcosA=2sinBcosB?sin2A=sin2B? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)bsinC + csinB=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得
sinBsinC=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90, A=90, 故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1
o
o
2
2
2
2
2
2o
CA?BA?BA?BA?B2
cos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- ? [2sin22221]=0
? [2sin
2sin
2
A?BA?BA?BA?Bcos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2222A?B=0 2A?BA?BA?BA?B?(sin- cos)(cos- sin)=0
2222A?B?A?C?BA?B?C?sin( - )sinsin=0
2444?△ABC是Rt△。
二、三角形中的求角或求边长问题
例2、△ABC中、已知：AB=2、BC=1、CA=、分别在边AB、BC、CA上取点D、
E、F、使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α、问sinα为何值时、△DEF的边长最短？并求出最短边的长。
图 1
分析：要求最短边的长、需建立边长关于角α的目标函数。
解：设△DEF的边长为x、显然∠C=90°、∠B=60°、故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠
EDB+∠B、所以∠EDB=α。在△BDE中、由正弦定理得、
所以 、因为BE+EC=BC、所以、
所以
当、
。
注：在三角形中、已知两角一边求其它边、自然应联想到正弦定理。
例2 在△ABC中、已知sinB=解：由cosA=
35, cosA=, 试求cosC的值。 513512、得sinA=, 1313
∵ sinB 4, 516. 65o 又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB= 例3 (98年高考题)已知△ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边、且a + c=2b, A – B=60, 求sinB的值. 解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB A?CA?Ccos=2sinB 22A?CBo 由 A + B + C=180 得 sin=cos. 22即 2sin 又 A – C= 60, 得 o 3Bcos=sinB 22所以 3BBBcos=2sincos 2222o 又 ∵ 0< BBo <90, cos≠0、 22所以 sin 3B=. 2413B=. 4239. 8从而 cos 所以 sinB= 例4．（2005年湖北卷第18题） 在△ABC中、已知AB?466,cosB?,AC边上的中线BD=5、求sinA的值. 36分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识、同时考查利用三角公式进行恒等变形 的技能和运算能力. 解法1：设E为BC的中点、连接DE、则DE//AB、且DE=在△BDE中利用余弦定理可得： BD=BE+ED－2BE·EDcosBED、 2 2 2 126AB?,设BE?x, 23