离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、基础知识
1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
?1?期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,?2?E?X?是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E?X?是不变的，它描述X取值的平均状态.,?3?E?X?＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E?X?的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.
2.方差
设离散型随机变量X的分布列为：
X P 2
x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn n
则(xi－E(X))描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝? (xi－
i＝1
E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D?X?为随机变量X的标准差.
?1?随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D?X?越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D?X?越小，X的取值越集中在E?X?附近.,?2?方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.
3.两个特殊分布的期望与方差
分布 两点分布 二项分布
4.正态分布 (1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
期望 E(X)＝p E(X)＝np 方差 D(X)＝p(1－p) D(X)＝np(1－p) ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值
1
； σ2π④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
二、常用结论
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).
(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 考点一 离散型随机变量的均值与方差
[典例精析]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、1112乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；
4623
两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
[解] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 111
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
4624
121
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
233两人都付80元的概率为
11121111－－?×?1－－?＝×＝， P3＝??42??63?4624
1115故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
2432412
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则： 111
P(ξ＝0)＝×＝，
462412111
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
432641112115
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
4623641211121
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
26434111
P(ξ＝160)＝×＝. 4624
ξ的分布列为：
ξ P 0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 2411511E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
24412424D(ξ)＝(0－80)2×4 000
＝. 3
[题组训练]
1
1.随机变量X的可能取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝( )
51A. 5C.5 5
2B. 5D.10 5
11511＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×24412424
解析：选B 设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
?
由题意得?1
?5＋p＋q＝1，
1
0×＋p＋2q＝1，5
31
解得p＝，q＝，
55
1312
∴D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝.
5555