离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地,若离散型随机变量X的分布列为:

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

?1?期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.,?2?E?X?是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而E?X?是不变的,它描述X取值的平均状态.,?3?E?X?=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了E?X?的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为:

X P 2

x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn n

则(xi-E(X))描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)=? (xi-

i=1

E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差,并称其算术平方根D?X?为随机变量X的标准差.

?1?随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D?X?越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D?X?越小,X的取值越集中在E?X?附近.,?2?方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 两点分布 二项分布

4.正态分布 (1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

期望 E(X)=p E(X)=np 方差 D(X)=p(1-p) D(X)=np(1-p) ②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; ③曲线在x=μ处达到峰值

1

; σ2π④曲线与x轴之间的面积为1;

⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;

⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.

二、常用结论

若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 (1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数; (2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X); (3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2); (4)D(X)=E(X2)-(E(X))2;

(5)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).

(6)若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为:E(X)=μ,D(X)=σ2. 考点一 离散型随机变量的均值与方差

[典例精析]为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、1112乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;

4623

两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ),方差D(ξ).

[解] (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元, 111

两人都付0元的概率为P1=×=,

4624

121

两人都付40元的概率为P2=×=,

233两人都付80元的概率为

11121111--?×?1--?=×=, P3=??42??63?4624

1115故两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=.

2432412

(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ,ξ可能取值为0,40,80,120,160,则: 111

P(ξ=0)=×=,

462412111

P(ξ=40)=×+×=,

432641112115

P(ξ=80)=×+×+×=,

4623641211121

P(ξ=120)=×+×=,

26434111

P(ξ=160)=×=. 4624

ξ的分布列为:

ξ P 0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 2411511E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80.

24412424D(ξ)=(0-80)2×4 000

=. 3

[题组训练]

1

1.随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( )

51A. 5C.5 5

2B. 5D.10 5

11511+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×24412424

解析:选B 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,

?

由题意得?1

?5+p+q=1,

1

0×+p+2q=1,5

31

解得p=,q=,

55

1312

∴D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.

5555

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