X1?X2?X3X12?X22?X32,max?Xi,1?i?3?,X1?2?,（2）指出之中哪些是统计量，
3?2哪些不是统计量。
答：（1）因为X服从正态分布 Xi服从
，即
，而是取自总体X的样本，所以有
故样本的联合密度函数为
。
都是统计量，因为它们均不包含
（2）
任何未知参数，
而
不是统计量。
3 设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
2答：X1?X2,max1?i?5Xi,(X5?X1)2都是统计量，X5?2p,不是统计量，因p是未知参
数。
??e??x,x?04 设总体服从参数为?的指数分布，分布密度为p(x;?)??
?0, x?0求EX,DX和ES.
2解：由于，所以
；
；
。
5 设总体X服从N?0,1?，样本X1,L,X6来自总体X, 令
Y??X1?X2?X3???X4?X5?X6?, 求常数C，使CY服从?2-分布。
22解：因为样本 独立同分布，所以服从，
服从，同理服从, 因此服从，
服从
取C=1/3 。
，且两者相互独立，由-分布的可加性，知Y/3服从，所以
26 设总体X服从N?,?，X1,L,Xn是取自总体X的简单随机样本，X为样本均值，
???Xi????2nSX??,i?1S2,S2分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量n,nn2?2S/n?2各服从
什么分布。
答： 由定理知 服从自由度为n-1的 -分布，由定理的系得
服从自由
度为n-1的t-分布，由 服从 ，可得 服从
，
服从 ，由于 相互独立因此由
-分布的可加性，得
服从自由度为n的
-分布。
227 设总体X服从N?,?，X和S为样本均值和样本修正方差，又有Xn?1服从
??N??,?2?，且与X1,L,Xn相互独立，试求统计量Xn?1?XSn/n?1n?1, ?X?X?服从什么分nS2/n?12n?1布。
答： 由X服从 ， 服从 ， 服从 ，
服从 ，又由 服从自由度为n-1的 -分布，注意t分布的定义
服从自由度为n-1的t-分布。由 服从
， 服从 ，又由 服从自由度为n-1的 -分布，注意
F分布的定义 的F-分布。
服从自由度为（1，n-1）
（不好意思，X都写成了，让教师费心了！！）
1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）
74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。
解：μ，σ的矩估计是
2
1n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 ?ni?12 S2?6.86?10?6。
????1?x?,0?x?12总体X的概率密度为p?x,????，其中???1为未知参数，样本
?0, x?0,or,x?1X1,X2,L,Xn来自总体X，求未知参数?的矩法估计与极大似然估计。
答：首先求数学期望
从而解方程 得 的矩法估计为 似然函数为 令
。
解得 的极大似然估计为
。
3 求均匀分布U[?1,?2]中参数?1,?2的极大似然估计．
解 先写出似然函数
?1]n，?1?X(1)?X(n)??2?[L(?1,?2)???2??1?0，其他?该似然函数不连续，不能用似然方程求解方法，只有回到极大似然估计原始定义，注意最大值只能发生在
?1?X(1)?X(n)??2
?时；而欲L(X;?1,?2)最大，只有使?2??1最小，即使?2尽? 可能小，?1尽可能大，但在上式的约束下，只能取???1?X(1)，?2?X(n).?x?x?e2?,x?04 设连续型总体X的概率密度为p?x,????????0?, X1,X2,L,Xn来自总
?0, x?0?体X的一个样本，求未知参数?的极大似然估计量??，并讨论??的无偏性。 答： 似然函数为
2
其中
因此
的极大似然估计量
是
的无偏估计量。