第五章
习题一
1． 解：a-b = a+(-b)
= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T
3a+2b-c = 3a+2b+(-c)
= (3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)T
2． 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a) 3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a 3a1+2a2+(-a) = 5a3+5a
3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3a1+2a2+(-5)a3 = 6a
n维向量空间
11[3a1+2a2+(-5)a3] = ?6a 66115 a1+a2+(-)a3 = a
236
将a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a =
115a1+a2+(-)a3 中可得： 236 a=(1,2,3,4)T.
3． (1) V1是向量空间.由(0,0,…,0)?V1知V1非空.设a=(x1,x2,…,xn)?V1,b=(y1,y2,…,yn)?V1,
则有x1+x2+…+xn=0，y1+y2+…+yn=0.因为
(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)= (x1+x2+…+xn)+( y1+y2+…+yn)=0
所以a+b=( x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)?V1.对于k?R，有 kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=0
所以ka=( kx1,kx2,…,kxn) ?V1.因此V1是向量空间.
(2) V2不是向量空间.因为取a=(1, x2,…,xn)?V2 ,b=(1, y2,…,yn)?V2,但a+b=(2, x2+y2,…,
xn+yn)?V2.因此V2不是向量空间.
习 题 二
1． 求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：
(1) 解：设向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4
其中, k1,k2,k3,k4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T,
a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T
根据对分量相等可得下列线性方程组：
?k1?k2?k3?k4?k?k?k?123 ??k1?k2??k1?0?2 ?0??1解此方程组可得：k1=－1,k2=1,k3=2,k4=－2.
因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=－a1+a2+2a3－2a4 .
(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：
?k1?k?1 ??k1??k1?k2?k3?2k4?2k2?k3?2k4?k2?3k2?k3??3?1 ?2?1由方程组中的第一和第二个方程易解得：k2=4,于是依次可解得：k1=-2,k3=-9, k4=2.
因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=－2a1+4a2－9a3+2a4 .
2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a1,a2 ,a3,a4线性相
关.
(2) 解：?a1a2?111??11?1??11?1???????a3???126???015???015?
?133??022??00?4??????? 因为R?a1a2a3??3
所以a1,a2,a3线性无关.
(3) 解：?a1a21??111??111??11??????a3???2?414???0?612???01?2?
?31????7????0?24??000?因为R?a1a2a3??2?3
?1?11??1?11??1?11???????a3????103???0?14???0?14?
?1????1?2????02?3??005?所以a1,a2,a3线性相关. (4) 解：?a1a2 因为R?a1
a2a3??3
2
所以a1,a2,a3线性无关.
3. 证明：假设有常数k1,k2,k3,使 k1b1+k2b2+k3b3=0
又由于b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0 即
(k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0 因为a1,a2,a3线性无关，所以有
?k1?k2?k3?0?k1?0 ??k?k?23?0 解得?k2?0
??k3?0??k3?0因此向量组b1,b2,b3线性无关.
4. 设存在常数k1,k2,k3,k4使
k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0
因为b1=a1+a2,b2= a2+a3,b3=a3+a4,b4= a4+a1 于是可得：
k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0 整理得：
(k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0， （下用两种方法解）
法 一：因为a1,a2,a3,a4为同维向量，则 (1) 当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时，
k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0
可解得：k2=- k1，k4=- k1，k3=k1
取k1?0可得不为0的常数k1,k2,k3,k4使
k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0 因此b1,b2,b3,b4线性相关。
(2) 当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4中至少存 在个不为0，因此易知k1,k2,k3,k4不全为0，于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。法二：因为a1,a2,a3,a4为任意向量，
??k1?k4?0 所以当??k1?k2?0?k2?k3?0， ??k3?k4?0而该方程组的系数矩阵对应的行列式
100111000110?0，所以有非零解 0011
3
一