经典小学奥数题型(几何图形)

所以SSPQR?1?1?(1?1?2)?263(cm2).

(法2)如图,连结AE,则S?ABE?1?4?4?8(cm2),

2而RB?ER,所以RB?AB?2,S?ABR?2S?ABE?2?8?16(cm2).

ABEFEFEF333而S?MBQ?S?ANS?1?3?4?1?3(cm2),因为MN?MP,

22DCPC所以MP?1MC,则S?MNP?1?2?4?1?4(cm2),阴影部分面积等于

32331642S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP??3?3??(cm2).

333

【例 26】 如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27

S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我

们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?3:4,AE:CE?5:6,求AF:FB.

AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?2:3,EA:CE?5:4,求AF:FB.

AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我

们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【例 27】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形ABC的

面积是1,则三角形ABE的面积为______,三角形AGE的面积为________,三角形GHI的面积为______.

AEFHBGIDCAEFHGIDC【分析】 连接AH、BI、CG.

5B

由于CE:AE?3:2,所以AE?2AC,故S?ABE?2S?ABC?2;

55根据燕尾定理,S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3,S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2,所以

S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9,则S?ACG?4,S?BCG?9; 1919那么S?AGE?2S?AGC?2?548; ?51995S?ACH?919同样分析可得

EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19,则

EG:EH?S?ACG:S?ACH?4:9,

,所以

EG:GH:HB?4:5:10,同样分析可得.

AG:GI:ID?10:5:4,

所以S?BIE?5S?BAE?5?2?1,S?GHI?5S?BIE?5?1?11010551919519【巩固】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.

AAFIBHGDEFICBHGDEC【解析】 连接

BG,S△AGC据

?6份

根尾定理,

S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6

得S△BGC?4(份),S△ABG?9(份),则S△ABC?19(份),因此S△AGCS△ABC?6, 19同理连接AI、CH得S△ABHS△ABC?S6S△BIC619?6?6?61,?,所以△GHI??19S△ABC19S△ABC1919

三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图,?ABC中BD?2DA,CE?2EB,AF?2FC,那么?ABC的面积是阴

影三角形面积的 倍.

ADGFHBEICHICBEDGFA【分析】 如图,连接AI.

根据燕尾定理,S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1,S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2,

所以,S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4,那么,S?BCI?2S?ABC?2S?ABC.

1?2?47同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的2,所以阴影三角

7形的面积等于?ABC面积的1?2?3?1,所以?ABC的面积是阴影三角形

77面积的7倍.

【巩固】如图在△ABC中,DC?EA?FB?1,求△GHI的面积的值.

DBECFA2△ABC的面积AEHFIBGDCBFIAEHGDC【解析】 连接

BG,设S△BGC?1份,根据燕尾定理

S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得S△AGC?2(份),

S2S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份),因此△AGC?,同理连接AI、CH得

S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】 如图,三角形ABC的面积是1,BD?DE?EC,CF?FG?GA,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?

AAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与

AE交于点N.连接CP,CQ,CM,CN.

根据燕尾定理,S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2,S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2,设

S△ABP?1(份),则S△ABC?1?2?2?5(份),所以S△ABP?DEC1 575335同理可得,S△ABQ?2,S△ABN7121S△AQG???.

3721?12,而S△ABG?1,所以S△APQ?2?1?3,

同理,S△BPMS四边形MNED311239,S△BDM?,所以S四边形PQMN????35212735701395,S四边形NFCE?1?1?5?1,S四边形GFNQ?1?1?1?5 ????3357042321426321642?

【巩固】如图,?ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四边形JKIH的面积是多少?

CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJCDEGKBIHBAFJDEJIH

1111?,S?AGK?S?ACK?. 1?2?47321根据燕尾定理,S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2,S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2, 所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4,那么S?ACK?类似分析可得S?AGI又S?ABJ:S?CBJ那么,SCGKJ?2. 151. 4?AF:CF?2:1,S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1,可得S?ACJ??1117??. 4218484172161所以四边形JKIH??2???,

8415370根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为17,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE的面积为1?61?709. 70

【例 29】 右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,

已知△ABM的面积比四边形FCGN的AD与BG交于M,AF与BG交于N,面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?

AGMFCBDEFCAGNMB【解析】 连接CM、CN.

NDE

根据燕尾定理,S△ABM:S△CBM1S△ABM?S△ABC;

5?AG:GC?1:1,S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3,所以

再根据燕尾定理,S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1,所以

S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3,所以AN:NF?4:3,那么

S△ANG142???S△AFC24?37,

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