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特征值与特征向量的若干性质及其几例应用
作者：何 燕
来源：《科教导刊》2009年第01期
摘要本文介绍了特征值与特征向量的相关内容和性质,以及它们在高等数学中的应用计算和分三部分探讨有关矩阵的特征值与特征向量的问题,分别是引言,特征值与特征向量的常用性质,接着通过例题详加讨论。 关键词特征值特征向量方阵 中图分类号:G633.6文献标识码:A 1 引言
工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题,数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题,也都要用到特征值的理论。故其应用之广泛可见一斑,以下即是其几点常见的特征值和特征向量的应用问题。
2 矩阵特征值、特征向量的常用性质
2.1相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。
2.2如果�%d是矩阵 A 的一个特征值,是一个多项式,那么是矩阵多项式的一个特征值。
2.3如果A 是一个可逆阵,�%d是 A 的一个特征值,那么,1/�%d是A-1 的一个特征值。
2.4属于不同特征值的特征向量线性无关。
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2.5对矩阵A 的每个特征值,它的几何重数一定不超过代数重数。
2.6如果A 是一个对称矩阵,那么它的每个特征值的几何重数与代数重数相等,从而它有个线性无关的特征向量,他一定可以对角化。
3 应用举例
3.1 特征值与特征向量
例1 求矩阵的特征值,特征向量。解:|�%d|==(-3)(-2).即,对应特征向量为,.即,对应特征向量为,.例2对阶矩阵、,试证与必有相同的特征值。解证一 若的特征值,则det,从而必det,所以亦是的特征值。若是的任一非零特征值,则必有特征向量,使。两边同乘,有,因(若则矛盾),故上式表明是的特征值而对应的特征向量是,证毕。
证二对2阶矩阵作分块初等变换,有故即det()=det 因与有相同的特征方程,故特征值全同。证毕。
3.2 矩阵相似性之判定
例2求矩阵的特征值和特征向量,并讨论其是否可相似对角化。 解
∴ J有特征值,
故可得的基础解系为及. 即对应的特征向量为,,由此可知可相似对角化,事实上是对称矩阵。
3.3 Jordan标准形问题
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例3求矩阵 的Jordan标准形:. 解先求-的初等因子:
因此,的初等因子是,()2,故的Jordan标准形是
3.4 二次型的正定性问题
例4判别二次型是否为正定二次型。 解:二次型的矩阵为, 从而可知是正定二次型。
例5设为实对称矩阵,且,问是否为正定矩阵。 解:设为的特征值,则满足方程。 即。从而此方程的实根仅有
又实对称矩阵的特征值均为实数,所以的特征值均为1,所以是正定矩阵。