1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知识点 利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型.
梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
π
)在一个周期内的图象，根据图中数据2
1
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么
150ω的最小正整数值是多少？
11
解 (1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
900180则周期T＝2(t2－t1)＝2?2π
∴ω＝＝150π.
?1＋1?＝1. ?
?180900?75
T11?又当t＝时，I＝0，即sin?150π·＋φ180180?ππ
而|φ|<，∴φ＝.
26
π??故所求的解析式为I＝300sin?150πt＋?.
6??
?＝0，
??
12π1
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
150ω150∴ω≥300π>942，又ω∈N， 故所求最小正整数ω＝943.
反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位π
置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋).
6(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 2π
解 (1)周期T＝＝1(s).
2π列表：
*
t 0 1 65 122 311 121 π2πt＋ 66sin(2πt＋π) 6
描点画图：
π 6π 2π 3π 22π π2π＋ 63 6 0 －6 0 3
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
69
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
2(2)当此人距离地面不低于(59＋49
3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有2
多少分钟可以看到游乐园的全貌？
2π
解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t18π
＝t. 9