第四章 线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则
一、教学目的和要求
通过本次课，使学生理解根轨迹的概念，熟悉根轨迹方程，了解根轨迹与系统性能的关系，掌握根轨迹的绘制法则，会根据开环传递函数绘制系统的根轨迹。理解参数根轨迹，零度根轨迹概念。
二、重点、难点
根轨迹方程
根轨迹绘制基本法则
三、教学内容
1.根轨迹的基本概念
1）定义：开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在S平面上的变化轨迹。
系统如下：
R(s) C(s)
特征方程：s2?2s?2k?0，特征根： s1.2??1?1?2k 根轨迹如下图：
-2 -1 0
2）根轨迹与系统性能的关系
稳定性:根轨迹在 s左半平面时,系统稳定,部分穿过右半平面，条件稳定，全在右半平面.系统不稳定。
稳态性能：原点处的开环极点决定系统的型别，从而决定静态误差系数。 动态性能：根轨迹上的点与虚轴的距离表明系统的动态性能。
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3）根轨迹方程
闭环系统特征方程1?G(s)H(s)?0 等效变换如下：
G(s)H(s)??1即K*?(s?zj?1ni?1mj)??1?1ej(2k?1)?
?(s?p)i此方程等效为以下两个方程：
??s?z??(s?p)?(2k?1)?,k?o,?1,?2???—相角条件jij?1i?1mn?(s?zK*j?1ni?1mj)?1?K*??(s?p)ii?1mn
—幅值条件j?(s?p)i?(s?zj?1)2.常规（180?）根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。
nm?(s?p)?K?(s?z*ii?1j?1j)?0K*?0?s?pi,i?1,2,3,...n K*???s?zj,j?1,2,3,...m法则2 根轨迹的分指数与m,n 中的大着相同，根轨迹连续且对称于实轴。
法则3 根轨迹的渐近线有条，位置确定如下：
(2k?1)?,k?0,1,2,3,...n?m?1n?mn?m ?a?渐近线与实轴交点坐标?p??zii?1j?1nmj?a?,?a??a?渐近线与实轴正半轴的夹角法则4 实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹。
法则5 分离点的确定
两条或两条以上根轨迹在平面上相遇又立即分开的点称为分离点，分离点坐标确定如下：
n11（2k?1)??,分离角,l为根轨迹条数 ??lj?1d?zji?1d?pim*根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式出现在复平面上，常见的根
轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。
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法则6 起始角与终止角
?pi?(2k?1)??(??zj?1mmjpi???pjpi);k?0,?1,?2,???j?1(j?i)nn?z?(2k?1)??(??zz???pz);k?0,?1,?2,???ij?1(j?i)jij?1ji法则7 与虚轴的交点
可由劳斯表求出或令s=jω解出。 法则8 根之和
nn si??pi?i?1i?1
3.参数根轨迹
除开环增益以外的其他参数变化时系统闭环特征根在平面上的变化轨迹。
4.零度根轨迹
K*?0时，根轨迹的相角条件变为：??s?zi??(s?pj)?2k?
i?1j?1mn对正反馈系统，亦有??s?zi??(s?pj)?2k?
i?1j?1mn此两种情况下闭环系统的根轨迹称为零度根轨迹，绘制法则不同于常规根轨迹，变化部分如下：
2k?,k?0,1,2,3,...n?m?1 法则3 渐近线与实轴的交角?a?n?m法则4 实轴上的根轨迹：实轴上某段右侧零、极点个数之和为偶数，则该段是根轨迹。
法则6 起始角与终止角 mn ?pi?2k??(??zjpi???pjpi);k?0,?1,?2,???j?1j?1 (j?i)mn
?zi?2k??(??zjzi???pjzi);k?0,?1,?2,??? j?1j?1四、小结
(j?i)1.根轨迹概念 2.根轨迹方程
3.常规根轨迹绘制法则 4.参数根轨迹
5.零度根轨迹及绘制法则
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