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第5讲 一次方程(组)
重难点 一次方程(组)的应用
在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．
(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2 300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该商场共投入9 500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：
进价(元/件) 售价(元/件) 甲 30 50 乙 70 100 若全部销售完后可获利5 000元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ 【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：①甲商品数量＋乙商品数量＝50；②购进甲商品费用＋购进乙商品费用＝2 300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法；
(2)首先根据题中等量关系：①商场购进甲商品费用＋商场购进乙商品费用＝9 500；②商场销售甲商品利润＋商场销售乙商品利润＝5 000.然后设该商场购进甲商品a件、乙商品b件，根据题目中等量关系列方程组解答即可．
【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品x件，则购进乙商品(50－x)件．根据题意，得
30x＋70(50－x)＝2 300.解得x＝30. 则50－x＝50－30＝20.
答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．
解法二：(列二元一次方程组求解)设该商场购进甲商品x件，乙商品y件．根据题意，得
???x＋y＝50，?x＝30，?解得? ?30x＋70y＝2 300，?y＝20.??
答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．
(2)设该商场购进甲商品a件，乙商品b件．根据题意，得
???30a＋70b＝9 500，?a＝130，?解得? ?（50－30）a＋（100－70）b＝5 000，?b＝80.??
答：该商场购进甲商品130件，乙商品80件． 方法指导
1．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格．
2．在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也可以设两个未知数列方程组求解．相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解．
【变式训练1】 (2018·十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为(A)
???8x－3＝y?8x＋3＝yx＋3x－4y－3y＋4?A. B.? C.＝ D.＝
8787?7x＋4＝y?7x－4＝y??
【变式训练2】 (2018·青岛改编)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂
积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，
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两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少？
解：解法一：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意，得
???x＋y＝200，?x＝120，?解得? ??（1－15%）x＋（1－10%）y＝174，y＝80.??
解法二：设甲工厂5月份用水量为x吨，则
(1－15%)x＋(1－10%)(200－x)＝174，解得x＝120. 则200－x＝80.
答：甲工厂5月份用水量为120吨，乙工厂5月份用水量为80吨．
考点1 等式的性质
1．(2017·杭州)设x，y，c是实数，下列说法正确的是(B)
A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝ D．若＝，则2x＝3y
考点2 一元一次方程及其解法
2．(2017·南充)如果a＋3＝0，那么a的值是(B)
xy2c3c
xycc
A．3 B．－3 C. D．－
3．若方程3(2x－2)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为(B)
1313
A. B．－ C. D．－
x－32x＋1
4．(2018·攀枝花)解方程：－＝1.
23解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6.
去括号，得3x－9－4x－2＝6. 移项，得－x＝17.
系数化为1，得x＝－17.
考点3 二元一次方程(组)及其解法
?x－y＝3，?
5．(2018·北京)方程组?的解为(D)
?3x－8y＝14?
?????x＝－1?x＝1?x＝－2?x＝2
???A. B. C. D.? ?y＝2?y＝－2?y＝1?y＝－1????
59895353
6．已知关于x，y的方程x＋4y＝6是二元一次方程，则m，n的值为(A)
A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1
2m－n－2m＋n＋1
C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝ xy
7．(2018·乐山)方程组＝＝x＋y－4的解是(D)
32
13431343
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??x＝－3A.? ??y＝－2
????x＝6?x＝2?x＝3
?? B. C. D.? ????y＝4?y＝3?y＝2
8．(2018·桂林)若|3x－2y－1|＋x＋y－2＝0，则x，y的值为(D)
?????x＝1?x＝2?x＝0?x＝1
A.? B.? C.? D.? ?y＝4?y＝0?y＝2?y＝1????
??x＝3，9．(2018·淮安)若关于x，y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是?则a＝4．
??y＝2，
???x＝2，?ax＋by＝7，
10．(2018·随州)已知?是关于x，y的二元一次方程组?的一组解，则a＋b＝5．
?y＝1?ax－by＝1??
11．(2018·包头)若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为－2．
?x＋y＝10，①?
12．(2018·武汉)解方程组：?
?2x＋y＝16.②?
解：②－①，得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝4.
??x＝6，
则方程组的解为?
?y＝4.?
??x－3y＝5，①
13．(2018·嘉兴)用消元法解方程组?时，两位同学的解法如下：
?4x－3y＝2②?
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②得，3x＋(x－3y)＝2.③ 把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 解：(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得3x＝3“×”， 应为由①－②，得－3x＝3.
(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.
把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.
?x＝－1，?
故原方程组的解是?
?y＝－2.?
考点4 一次方程(组)的应用
14．(2018·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则(C)
A．x－y＝20 B．x＋y＝20 C．5x－2y＝60 D．5x＋2y＝60
15．(2018·泰安)夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为(C)
???x＋y＝5 300?x＋y＝5 300?A. B.? ?200x＋150y＝30?150x＋200y＝30??
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