高二理科数学 第三章 统计案例
《第三章—统计案例》单元设计
注：本单元设计分为单元学前设计、单元教学设计和单元巩固设计
【单元学前设计】
一、知识体系梳理（旧知识）
本章共2节，大约4课时，知识框架如下：
?观察?相关关系：利用散点图????线性回归模型??非线性回归模型?回归分析????残差图???回归分析??残差平方和?? 统计案例??相关系数??????分类变量????列联表??独立性检验直观?只管判定两个变量有关???等高条形图???精确检验两个分类变量---独立性检验的基本原理??二、本单元地位
本章内容是《选修数学2-3》第三章统计案例。在必修3中学生已经学习了抽样、用样本估计总体、线性回归等基本知识，本章中，我们将在此基础上，通过对典型案例的讨论，进一步讨论线性回归分析方法及其应用，并初步了解独立性检验的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
学习本单元新知识应具备基础知识测试:
【单元教学设计】
一、 单元知识点：
1、线性回归模型
（1）回归方程的相关计算：
① 函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系
② 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用手法. ③ 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，回归直线的斜率和截
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高二理科数学 第三章 统计案例
距的最小二乘估计公式分别为
??b
?(x?x)(y?y)?xyiiii?1nni?nx?y22?(xi?x)2i?1n?i?1?xi?xi?1n?x ??y?b， a1n1n(其中x??xi ,y??yi ,(x,y)称为样本点中心)
ni?1ni?1④ 回归直线必过样本点的中心，即点(x,y)
（2）线性回归模型：
①在线性回归模型：y?bx?a?e中，a和b为模型的未知参数，e是y与y?bx?a 之间的误差，通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值E(e)=0，方差D(e)??2＞0
?y?bx?a?e2
?②线性回归模型的完整表达式为?随机误差e的方差越小，通过回归2?E(e)?0,D(e)??直线y?bx?a预报真实值y的精确度越高.
③ 在回归模型中,y的值由x和随机因素e共同确定,即x只能解释部分y的变化,因此把x称为解释变量,y称为预报变量.
2、残差分析
①残差对于样本点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(i=1,2,3,…,n)
,(xn,yn).而言，相应于它们的随机误差为ei=
?x?a?i?yi?b?，(i=1,2,3,…,n). 其估算值为ei?yi?yiei称为相应于点(xi,yi)的残差。
②残差图:
利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据,或体重的估计值等,这样作出的图形称为残差图.
3、回归模型拟合效果的判断方法:
(1)残差图法:
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适, 这样的带状区域越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. (2)残差平方和法:
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?(y?y)ii?12n2称为残差平方和,残差平方和越小,模型的拟合效果越好.
(3)R:可以用R?1?2?)?(y?yiin222来刻画回归的效果,R越大,模型的拟合效果越好, R越?(y?y)ii?1i?1n2小,模型的拟合效果越差.
★在线性回归模型中,R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,
2R2越接近于1 ,表示回归的效果越好.
★在含有一个解释变量的线性模型中，R恰好等于相关系数r. 4、数据的表示方法
（1）变量的不同值表示个体所属的不同类别，像这种变量称为分类变量 （2）用图表列出两个分类变量的频数表，称为列联表；
与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响； 常用等高条形图展示列联表数据的频率特征. 5、2×2列联表：
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为?x1,x2?和?y1,y2?，其样本频数列联表（称 为2×2列联表）为：
2y1 y2 b d 总计 x1 a a?b c?d a?b?c?d x2 总计 c a?c b?d n(ad?bc)2 K= ，其中n?a?b?c?d为样本容量.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)26、独立性检验定义
利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.
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