大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A
大连理工大学应用数学系
数学与应用数学专业2005级试卷
课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系
考试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页
标准分 得 分 一、填空（每一空2分，共42分）
一 二 三 四 五 六 七 / 八 / 九 / 十 / 总分 100 42 8 15 15 15 5 1．为了减少运算次数，应将表达式.改写为_______；
2．给定3个求积节点：
，
和
，则用复化梯形公式计算
积分求得的近似值为 ，
用Simpson公式求得的近似值为 。
1．设函数
，若当
时，满足
，则其可表示
为
。
4．已知
,
,则
，逼近
的Newton插值多项式
为 。
5．用于求
的根
的具有平方收敛的Newton迭代公式
为： 。
6．已知7．设
，则
是阶正规矩阵，则
的Jordan标准型是 ；
；
，
的向后（隐式）
8．求解一阶常微分方程初值问题
Euler法的显式化的格式为： 。 9．设 位有效数字；
10．将
，化为
的Householder矩阵为： ；
12为的近似值，且
，则至少有
11． ；
在区间
内的根，进行一步后
12．用二分法求方程
根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。
13．若为Newton-Cotes 求积公式，则
，若为Gauss型求积公式，则14．设
，则在Schur分解
。 中，
可取为 。
15．设，则 ,
，
，
。
均为有效数字，试
二、（8分）已知近似值
估计算术运算的相对误差界。
三、（15分）设线性方程组：
（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 ，，和；
（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？
（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。
四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题的数值方法
，
①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解值范围并以
，
，初值，
。为使方法绝对稳定，求出步长的取为步长，求出
的近似值
。
五、（15分）
（1） 用Schimidt正交化方法，构造项式系：
，
，
，
;
上以
权函数的正交多
（2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式；
（3） 利用2)的结果求出六、证明题（5分）任选一题 1．设证明：对于
的数值解。
均为可逆矩阵，且齐次线性方程组中的任何矩阵范数
，都有
。
有非零解，
2． 已知，求出，证明 收敛。