大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A

大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A

大连理工大学应用数学系

数学与应用数学专业2005级试卷

课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系

考试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页

标准分 得 分 一、填空（每一空2分，共42分）

一 二 三 四 五 六 七 / 八 / 九 / 十 / 总分 100 42 8 15 15 15 5 1．为了减少运算次数，应将表达式.改写为_______；

2．给定3个求积节点：

，

和

，则用复化梯形公式计算

积分求得的近似值为 ，

用Simpson公式求得的近似值为 。

1．设函数

，若当

时，满足

，则其可表示

为

。

4．已知

,

,则

，逼近

的Newton插值多项式

为 。

5．用于求

的根

的具有平方收敛的Newton迭代公式

为： 。

6．已知7．设

，则

是阶正规矩阵，则

的Jordan标准型是 ；

；

，

的向后（隐式）

8．求解一阶常微分方程初值问题

Euler法的显式化的格式为： 。 9．设 位有效数字；

10．将

，化为

的Householder矩阵为： ；

12为的近似值，且

，则至少有

11． ；

在区间

内的根，进行一步后

12．用二分法求方程

根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。

13．若为Newton-Cotes 求积公式，则

，若为Gauss型求积公式，则14．设

，则在Schur分解

。 中，

可取为 。

15．设，则 ,

，

，

。

均为有效数字，试

二、（8分）已知近似值

估计算术运算的相对误差界。

三、（15分）设线性方程组：

（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 ，，和；

（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？

（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。

四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题的数值方法

，

①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解值范围并以

，

，初值，

。为使方法绝对稳定，求出步长的取为步长，求出

的近似值

。

五、（15分）

（1） 用Schimidt正交化方法，构造项式系：

，

，

，

;

上以

权函数的正交多

（2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式；

（3） 利用2)的结果求出六、证明题（5分）任选一题 1．设证明：对于

的数值解。

均为可逆矩阵，且齐次线性方程组中的任何矩阵范数

，都有

。

有非零解，

2． 已知，求出，证明 收敛。