2020高考数学大一轮复习第三章导数及其应用题组层级快练15导数的概念及运算文含解析

题组层级快练(十五)

1

1.y=ln的导函数为( )

x1

A.y′=-

xC.y′=lnx 答案 A

11

解析 y=ln=-lnx,∴y′=-. xx

x+1

2.(2019·人大附中月考)曲线y=在点(3,2)处的切线的斜率是( )

x-1A.2 1C. 2答案 D

(x+1)′(x-1)-(x+1)(x-1)′2

解析 y′==-22,故曲线在(3,2)处

(x-1)(x-1)21

的切线的斜率k=y′|x=3=-2=-,故选D.

(3-1)2

3.(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)=2esinx在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.y=0 C.y=x 答案 B

解析 ∵f(x)=2esinx,∴f(0)=0,f′(x)=2e(sinx+cosx),∴f′(0)=2,∴所求切线方程为y=2x.

4.(2019·沧州七校联考)过点(-1,1)的直线l与曲线y=x-x-2x+1相切,且(-1,1)不是切点,则直线l的斜率是( ) A.2 C.-1 答案 C

解析 设切点为(a,b),∵f(x)=x-x-2x+1,∴b=a-a-2a+1.∴f′(x)=3x-2x-2,则直线l的斜率k=f′(a)=3a-2a-2,则切线方程为y-(a-a-2a+1)=(3a-2a-2)(x-a),

∵点(-1,1)在切线上,∴1-(a-a-2a+1)=(3a-2a-2)(-1-a).

3

2

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

3

2

x

x

x

1

B.y′=

xD.y′=-ln(-x)

B.-2 1D.- 2

B.y=2x D.y=-2x

B.1 D.-2

1

整理,得(a-1)·(a-1)=0?a=1或a=-1. 当a=1时,b=-1,此时切点为(1,-1); 当a=-1时,b=1,此时切点为(-1,1)不合题意; ∴a=1,此时直线l的斜率k=f′(1)=-1,故选C.

1332

5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t-t+2t,那么速度为零

32的时刻是( ) A.0秒 C.2秒末 答案 D

1332

解析 ∵s=t-t+2t,

32∴v=s′(t)=t-3t+2.

令v=0,得t-3t+2=0,t1=1或t2=2.

6.(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e)=x+e,则f′(2 019)=( ) A.1 C.1

2 019

B.2 D.2 020

2 019

x

x

2

2

2

B.1秒末 D.1秒末和2秒末

答案 D

解析 令e=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x. 112 020

求导得f′(x)=+1,故f′(2 019)=+1=.故选D.

x2 0192 019

7.(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)=3cosx C.f(x)=1+2sinx 答案 C

解析 A项中,f′(x)=-3sinx是奇函数,图像关于原点对称,不关于y轴对称;B项中,12112

f′(x)=3x+2x=3(x+)-,其图像关于直线x=-对称;C项中,f′(x)=2cosx是

333偶函数,图像关于y轴对称;D项中,f′(x)=e+1,由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y轴对称.故选C.

ax

8.(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实

x+1数a的值为( )

2

2x

x

B.f(x)=x+x D.f(x)=e+x

x

32

3A. 23C.-

4答案 D

3B.- 24D. 3

2ax(x+1)-axax+2ax3a4

解析 由f′(x)==,得f′(1)==1,解得a=.故选D. 22(x+1)(x+1)4312

9.(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)=x·sinx+xcosx,则其导函数f′(x)的图像

2大致是( )

22

答案 C

121212

解析 由f(x)=xsinx+xcosx,得f′(x)=xsinx+xcosx+cosx-xsinx=xcosx+

222cosx.由此可知,f′(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,排除选项A,B.又f′(0)=1,故选C.

10.设a∈R,函数f(x)=e+a·e的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数,则a的值为( ) A.1 1

C. 2答案 A

解析 因为f′(x)=e-ae,由奇函数的性质可得f′(0)=1-a=0,解得a=1.故选A. 11.(2019·河南息县高中月考)若点P是曲线y=x-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为( ) A.1 C.2 2

B.2 D.3

2

x

-xx

-x

1B.- 2D.-1

答案 B

解析 当过点P的直线平行于直线y=x-2且与曲线y=x-lnx相切时,切点P到直线y112

=x-2的距离最小.对函数y=x-lnx求导,得y′=2x-.由2x-=1,可得切点坐标

xx为(1,1),故点(1,1)到直线y=x-2的距离为2,即为所求的最小值.故选B.

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