同角三角函数基本关系
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: sin??cos??1,角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin??cos??1
2222sin??tan?，掌握已知一个cos?sin??tan? cos?(3)倒数关系：tan??cot??1，sin??csc??1，cos??sec??1
(2)商数关系：要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)sin?是(sin?)的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“?”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：
22sin2??1?cos2?， cos2??1?sin2?，1?2sin??cos??(sin??cos?)2
2．商数关系式的变形
sin??cos??tan?， cos??【典型例题】
sin?。 tan?类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．若sin???4，且?是第三象限角，求cos?，tan?的值。 522【思路点拨】由sin?求cos?，可利用公式sin??cos??1，同时要注意角所在的象限。 【答案】?34 534，?是第三象限， 52【解析】 ∵sin???3?4?2∴cos???1?sin???1??????，
5?5?
tan??sin?4?5?4???????。 cos?5?3?3【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中
如果角?所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角?所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就?所在象限讨论。
举一反三： 【变式1】已知sin???【解析】因为sin???3，求cos?，tan?的值。 53?0，所以?是第三或第四象限角。 52由sin2?+cos2?=1得
?3?16。 cos??1?sin??1??????5?2522当?是第三象限角时，cos?＜0，于是cos???164??， 255从而tan??sin??3??5?3?????????； cos??5??4?4当?是第四象限角时，cos?＞0，于是cos??164?， 255从而tan??sin??3?53???????。 cos??5?44类型二：利用同角关系求值
【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】 例2．已知：tan??cot??2,求：
（1）sin??cos?的值；（2）sin??cos?的值； （3）sin??cos?的值；（4）sin?及cos?的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
22221,,?（2）?2（3）0（4）或? 22222sin?cos???2 【解析】（1）由已知
cos?sin?【答案】（1）
sin2??cos2??2 ?sin?cos??sin?cos??1 2
（2）
?sin??cos???sin??cos??2?1?2sin?cos??1?1?2
?sin??cos???2
（3）
2?1?2sin?cos??1?1?0
2??sin???2或??2?cos????2??sin??cos??0
??sin????sin??cos???2?（4）由?，解得???sin??cos??0?cos????求解的过程中关键是利用了sin举一反三：
【变式1】已知sin??cos??222 22【总结升华】本题给出了sin??cos?,sin??cos?及sin?cos?三者之间的关系，三者知一求二，在
??cos2??1这个隐含条件。
2，求下列各式的值：
（1）tan?+cot?；（2）sin3?－cos3?。 【解析】 由sin??cos??12两边平方得sin??cos???。
2sin?sin2??cos2?1????2。 （1）tan??cot??cos?sin??cos?sin??cos?（2）sin??cos??(sin??cos?)(sin??sin?cos??cos?)
3322n?co?s ?(si?2)?(1?sin?c?os。)
2【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例3】 例3．已知：tan???（1）
1，求： 2sin??cos?；
sin??3cos?1?2sin?cos?（2）；
sin2??cos2?（3）2sin2??3sin?cos??5cos2?。
1??1tan??11【解析】（1）原式=?2??
tan??3?1?372?sin??cos??sin??cos??（2）原式=
?sin??cos???sin??cos??sin??cos?2sin2??3sin?cos??5cos2?（3）原式= 22sin??cos?2?tan??11??
tan??13