高中数学必修四之知识讲解_同角三角函数的基本关系式_基础

同角三角函数基本关系

【学习目标】

1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: sin??cos??1,角的三角函数值求其他三角函数值的方法;

2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】

要点一:同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin??cos??1

2222sin??tan?,掌握已知一个cos?sin??tan? cos?(3)倒数关系:tan??cot??1,sin??csc??1,cos??sec??1

(2)商数关系:要点诠释:

(1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立;

(2)sin?是(sin?)的简写;

(3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意“?”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系式的变形:

22sin2??1?cos2?, cos2??1?sin2?,1?2sin??cos??(sin??cos?)2

2.商数关系式的变形

sin??cos??tan?, cos??【典型例题】

sin?。 tan?类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1.若sin???4,且?是第三象限角,求cos?,tan?的值。 522【思路点拨】由sin?求cos?,可利用公式sin??cos??1,同时要注意角所在的象限。 【答案】?34 534,?是第三象限, 52【解析】 ∵sin???3?4?2∴cos???1?sin???1??????,

5?5?

tan??sin?4?5?4???????。 cos?5?3?3【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值,缩小角的范围。在解答过程中

如果角?所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角?所在象限不确定,则应分类讨论,有两种结果,需特别注意:若已知三角函数值以字母a给出,应就?所在象限讨论。

举一反三: 【变式1】已知sin???【解析】因为sin???3,求cos?,tan?的值。 53?0,所以?是第三或第四象限角。 52由sin2?+cos2?=1得

?3?16。 cos??1?sin??1??????5?2522当?是第三象限角时,cos?<0,于是cos???164??, 255从而tan??sin??3??5?3?????????; cos??5??4?4当?是第四象限角时,cos?>0,于是cos??164?, 255从而tan??sin??3?53???????。 cos??5?44类型二:利用同角关系求值

【高清课堂:同角三角函数关系公式 385948 例2】 例2.已知:tan??cot??2,求:

(1)sin??cos?的值;(2)sin??cos?的值; (3)sin??cos?的值;(4)sin?及cos?的值

【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系,为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

22221,,?(2)?2(3)0(4)或? 22222sin?cos???2 【解析】(1)由已知

cos?sin?【答案】(1)

sin2??cos2??2 ?sin?cos??sin?cos??1 2

(2)

?sin??cos???sin??cos??2?1?2sin?cos??1?1?2

?sin??cos???2

(3)

2?1?2sin?cos??1?1?0

2??sin???2或??2?cos????2??sin??cos??0

??sin????sin??cos???2?(4)由?,解得???sin??cos??0?cos????求解的过程中关键是利用了sin举一反三:

【变式1】已知sin??cos??222 22【总结升华】本题给出了sin??cos?,sin??cos?及sin?cos?三者之间的关系,三者知一求二,在

??cos2??1这个隐含条件。

2,求下列各式的值:

(1)tan?+cot?;(2)sin3?-cos3?。 【解析】 由sin??cos??12两边平方得sin??cos???。

2sin?sin2??cos2?1????2。 (1)tan??cot??cos?sin??cos?sin??cos?(2)sin??cos??(sin??cos?)(sin??sin?cos??cos?)

3322n?co?s ?(si?2)?(1?sin?c?os。)

2【高清课堂:同角三角函数关系公式 385948 例3】 例3.已知:tan???(1)

1,求: 2sin??cos?;

sin??3cos?1?2sin?cos?(2);

sin2??cos2?(3)2sin2??3sin?cos??5cos2?。

1??1tan??11【解析】(1)原式=?2??

tan??3?1?372?sin??cos??sin??cos??(2)原式=

?sin??cos???sin??cos??sin??cos?2sin2??3sin?cos??5cos2?(3)原式= 22sin??cos?2?tan??11??

tan??13

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