3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标：1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运 学习重点：会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习难点：能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换 一．知识导学：
αα
(1)S2α：sin 2α＝__________，sin cos ________________ ；
22
(2)C2α：cos 2α＝ _____________ ＝______________ ＝ ______________ ； (3)T2α：tan 2α＝ __________________ . 二．探究与发现
【探究点一】 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
问题1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前
面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？
问题2 根据同角三角函数的基本关系式sinα＋cosα＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
【探究点二】 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
二倍角的余弦公式cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα变形较多，应用灵活．其1－cos 2α1＋cos 2α1－cos α1＋cos α222α
中sinα＝，cosα＝称作降幂公式，＝sin，＝
22222cos
2
2
2
2
2
2
2
α
称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用． 2
12
练习1：函数f(x)＝3sin xcos x＋cosx－的最小正周期是________．
2
【探究点三】 三倍角公式的推导
因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式．请完成三倍角公式的证明： (1)sin 3α＝3sin α－4sinα；(2)cos 3α＝4cosα－3cos α.
【典型例题】
π5122
例1 求下列各式的值：(1)coscosπ； (2)－cos15°.
3
3
12123
跟踪训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；－1)．
例2 求证：3－4cos 2A＋cos 4A4
3＋4cos 2A＋cos 4A＝tanA.
跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ
1＋sin 2θ＋cos 2θ.
3(2)tan 70°·cos 10°·(3tan 20°
45π7πsin 2x－2sinx?π?例3. 若cos?－x?＝－， πcos 2x?π?5 跟踪训练3 已知sin?－x?＝，0 4π?4?13??cos?＋x? ?4? 三、巩固训练： sin 3αcos 3α 1．化简：－等于 sin αcos α A．2 2．sin 4 2 ( ) D．－1 D. 3 2 B．1 1 C． 2（ ） π4π －cos等于 1212 B．－1 A．－ 23 21 C． 2 tan 7.5°3. ＝________. 2 1－tan7.5°