a＋b
3.4 基本不等式ab≤(a≥0，b≥0)
2
3.4.1 基本不等式的证明
学习目标：1.理解基本不等式的内容及证明．(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．算术平均数与几何平均数
a＋b
对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
a＋b如果a，b是正数，那么ab≤2(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不a＋b等式ab≤2(a≥0，b≥0)称为基本不等式．
a＋b
思考 如何证明不等式ab≤2(a>0，b>0)?
[提示] ∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a＋b≥2ab， a＋b
∴ab≤，
2
当且仅当a＝b时，等号成立．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2ab成立．( ) (2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.( )
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[答案] (1)× (2)√
2．若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝________，b＝________.
a＋b??2＝2，
由题意可知?
??ab＝2，
[解析]
??a＋b＝4，
∴?∴a＝2，b＝2. ??ab＝4，[答案] 2 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
用基本不等式证明不等式 已知a，b，c为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca； a2b2c2
(2)求证：＋＋≥a＋b＋c.
bca
【导学号：57452095】
[思路探究] (1)利用a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc求证；
22
a2bc
(2)利用b＋b≥2a2；c＋c≥2b2；a＋a≥2c2求证．
[解] (1)∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc. 又a，b，c为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ab＋ac＋bc. 又a，b，c互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a＋b＋c>ab＋ac＋bc.
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a2b2c2
(2)∵a，b，c，b，c，a均大于0， a2
∴b＋b≥2
a2b＝2a， b·a2
当且仅当b＝b时等号成立． b2
c＋c≥2
b2c＝2b， c·b2
当且仅当c＝c时等号成立． c2
a＋a≥2c2a＝2c， a·c2
当且仅当a＝a时等号成立．
a2b2c2
相加得b＋b＋c＋c＋a＋a≥2a＋2b＋2c， a2b2c2
∴b＋c＋a≥a＋b＋c. [规律方法] 利用基本不等式证明不等式的条件要求： (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. [跟踪训练] 1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 111
求证：a＋b＋c≥9.
[证明] 法一：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， 111∴a＋b＋c
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