高中数学好题速递400题

已知正数x,y满足

11??1,则xy的最大值为 .

2x?yyx?4yx????解:xy?xy???11xy ??????2x?y?y?x?4y?x?2x?yx?4y解法一:令2x?y?u,x?4y?v,得x?则

4u?v2v?u ,y?77xy4u?v2v?u61?vu?4?????????

2x?yx?4y7u7v77?uv?7当且仅当u?v,即x?3y时取得等号。 解法二:

xy11???

2x?yx?4y2?yx?4xy2121514t?9t?2??t??111tt?6t?14y42 令?t,则????2?2x2?t1?42?t4t?14t?9t?24t?9t?2t令

4m?2151 t??m,则t?1542原式?1m1m ???2244?4m?2??4m?2??4m?2??4m?2?4??9?24?9????????215151515?????????1225m1225194?????? 2196464m?476m?196464m??4764287m17,即t?时取得等号

34当且仅当m?

好题速递302

x设函数f0?x??(1),f1?x??f0?x??1,fn?x??fn?1?x??(1)n,n?1,n?N,则方程

222n 1有 个实数根. f?x??nn?2??解:令g(n)?(1)n,问题化为观察fn(x)与g(n)图像的交点

n?2有几个.由于f0(x)是偶函数,故fn(x)是偶函数,只要考虑

y 1213 图1:n=1时 x?0时的交点个数.

f1(x) O 1 g(1)?13x 1n=1时,f1(x)的图像是把f0(x)的图像下移,

21再把x轴下的图像往上翻而得,f1(x)max?,有1个零点,

21以零点为界,f1(x)呈“减增”状态,最后趋于,

2如图1,有2个交点;

y 12 1 4图2:n=2时 f2(x) 1 O 21g(2)?16x ?1?n=2时,f2(x)的图像是把f1(x)的图像下移??,

?2?1再把x轴下的图像往上翻而得,f2(x)max?2,有2个零点,

22?1?以2个零点为界,f2(x)呈“减增减增”状态,最后趋于??,

?2?如图2,有22个交点;……

1n= n≥2时,fn(x)max?()n?(1)n?g(n),且有2n?1个零点

n?22以2n?1?1?个零点为界,fn(x)呈“减增减增…减增”状态,最后趋于??,故fn(x)的每1

?2?n个零点都对应产生2个两函数图像的交点,∴有2?2n?1?2n个交点,再由对称性知x<0时,也有2n个交点,故共有2n?1个交点,从而原方程有2n?1个实根

好题速递303

已知数列{an}满足an?1?a??2an?3(n?N*).设bn?n(n?N*, ?, ?为均不等于2的且互

an??an?4不相等的常数,若数列{bn}为等比数列,则??的值为 .

2an?3?3?4????a??n2???a??a?4?n?1?n?2??? an?1??2an?32???3?4???an???2????an?4??解:bn?13?4?因为数列{bn}为等比数列,所以???3?4?,???,且公比为2??,

2??2??2??故?, ?为方程?x?3?4x的两不等实根,从而????3.

2?x

好题速递304

已知f(x)?x2?9?x2?kx,若关于x的方程f(x)?0在?0,4?上有两个实数解,则k的取值范围是 .

解:f(x)?0可以转化为|x2?9|?x2??kx,记g(x)?|x2?9|?x2,则f(x)?0在?0,4?上有?9,0?x?3两个实数解,可以转化为函数g(x)?x2?9?x2??2与h(x)??kx的图象,

2x?9,3?x?4?结合图像和特殊点A(3,9),B(4,23)可知k?(?

23,?3) 4好题速递305

已知向量a,b,c满足a?b?c?0,且a与b的夹角的正切为?1,b与c的夹角的正切

2为?1,b?2,则a?c的值为 .

31?1 从而sinA?1,解:易得tanC??tan(A?B)?23??1, sinB?1, sinC?1,

1?1?1510223由ac22?1=4 ?2?得a?2, c?22, 则a?c?2?1115525551025评注:这个题要注意向量的夹角是共起点的,所以要特别留意取本身还是补角。

好题速递306

如图,矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心、BA为半径在矩形内部C 作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,,垂足为N,则四边形OMPN的周长的最小值为 . 解:如图,连BP,则BP=1,设∠CBP=,??0,???, 2?N O

D B

?P M

E A

PE?DB?BPcos??cos?,PD?BPsin??sin?

∴PN?2?cos?,PM?1?sin?

C D B

N O

P M

E A

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