已知正数x,y满足
11??1，则xy的最大值为 ．
2x?yyx?4yx????解：xy?xy???11xy ??????2x?y?y?x?4y?x?2x?yx?4y解法一：令2x?y?u,x?4y?v，得x?则
4u?v2v?u ,y?77xy4u?v2v?u61?vu?4?????????
2x?yx?4y7u7v77?uv?7当且仅当u?v，即x?3y时取得等号。 解法二：
xy11???
2x?yx?4y2?yx?4xy2121514t?9t?2??t??111tt?6t?14y42 令?t，则????2?2x2?t1?42?t4t?14t?9t?24t?9t?2t令
4m?2151 t??m，则t?1542原式?1m1m ???2244?4m?2??4m?2??4m?2??4m?2?4??9?24?9????????215151515?????????1225m1225194?????? 2196464m?476m?196464m??4764287m17，即t?时取得等号
34当且仅当m?
好题速递302
x设函数f0?x??(1),f1?x??f0?x??1,fn?x??fn?1?x??(1)n,n?1,n?N，则方程
222n 1有 个实数根． f?x??nn?2??解：令g(n)?(1)n，问题化为观察fn(x)与g(n)图像的交点
n?2有几个．由于f0(x)是偶函数，故fn(x)是偶函数，只要考虑
y 1213 图1：n=1时 x?0时的交点个数．
f1(x) O 1 g(1)?13x 1n=1时，f1(x)的图像是把f0(x)的图像下移，
21再把x轴下的图像往上翻而得，f1(x)max?，有1个零点，
21以零点为界，f1(x)呈“减增”状态，最后趋于，
2如图1，有2个交点；
y 12 1 4图2：n=2时 f2(x) 1 O 21g(2)?16x ?1?n=2时，f2(x)的图像是把f1(x)的图像下移??，
?2?1再把x轴下的图像往上翻而得，f2(x)max?2，有2个零点，
22?1?以2个零点为界，f2(x)呈“减增减增”状态，最后趋于??，
?2?如图2，有22个交点；……
1n= n≥2时，fn(x)max?()n?(1)n?g(n)，且有2n?1个零点
n?22以2n?1?1?个零点为界，fn(x)呈“减增减增…减增”状态，最后趋于??，故fn(x)的每1
?2?n个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有2?2n?1?2n个交点，再由对称性知x<0时，也有2n个交点，故共有2n?1个交点，从而原方程有2n?1个实根
好题速递303
已知数列{an}满足an?1?a??2an?3(n?N*)．设bn?n(n?N*, ?, ?为均不等于2的且互
an??an?4不相等的常数，若数列{bn}为等比数列，则??的值为 ．
2an?3?3?4????a??n2???a??a?4?n?1?n?2??? an?1??2an?32???3?4???an???2????an?4??解：bn?13?4?因为数列{bn}为等比数列，所以???3?4?，???，且公比为2??，
2??2??2??故?, ?为方程?x?3?4x的两不等实根，从而????3．
2?x
好题速递304
已知f(x)?x2?9?x2?kx,若关于x的方程f(x)?0在?0,4?上有两个实数解，则k的取值范围是 .
解：f(x)?0可以转化为|x2?9|?x2??kx，记g(x)?|x2?9|?x2，则f(x)?0在?0,4?上有?9,0?x?3两个实数解，可以转化为函数g(x)?x2?9?x2??2与h(x)??kx的图象，
2x?9,3?x?4?结合图像和特殊点A(3,9),B(4,23)可知k?(?
23,?3) 4好题速递305
已知向量a，b，c满足a?b?c?0，且a与b的夹角的正切为?1，b与c的夹角的正切
2为?1，b?2，则a?c的值为 ．
31?1 从而sinA?1，解：易得tanC??tan(A?B)?23??1， sinB?1， sinC?1，
1?1?1510223由ac22?1=4 ?2?得a?2， c?22， 则a?c?2?1115525551025评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。
好题速递306
如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部C 作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为 ． 解：如图，连BP，则BP=1，设∠CBP=，??0,???， 2?N O
D B
?P M
E A
PE?DB?BPcos??cos?，PD?BPsin??sin?
∴PN?2?cos?，PM?1?sin?
C D B
N O
P M
E A